第5章 刚体力学基础 动量矩5.1 刚体和刚体的基本运动5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理5.4 动量矩和动量矩守恒定律猫下落过程中 的翻身问题一、理解描写刚体定轴转动角速度和角加速度的物理意义 ，并掌握角量与线量的关系二、理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转 动定理三、理解角动量概念，掌握角动量定律，并能处理一般质点 在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守 恒问题.5-0 教学基本要求能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系 统的力学问题四、理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴 转动的问题中正确地应用机械能守恒定律5.1 刚体和自由度的概念 及其基本运动 一、刚体 （质点间距离始终保持不变）在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . 二、 刚体的基本运动 (平动 转动）1. 平动结论：刚体内所有质点的速度相同，加速度相同。刚体运动时，刚体内任意一条直线都始终保持和自身平行 。刚体平动 质点运动2. 转动刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动，该直线为转轴. 分定轴转动和非定轴转动 .刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+3、 刚体定轴转动的角速度和角加速度参考平面(2)角位移(1) 角坐标约定:与转动方向满足右手螺 旋,0；反之0； 反之0,表示角加速度的方向与角坐标的正方向一致； 0，表示两者方向相反。4、 刚体绕定轴的匀速和匀变速转动刚体定轴转动与质点直线运动公式对比刚体匀变速定轴转动质点匀变速直线运动刚体匀速定轴转动质点匀速直线运动5. 绕定轴转动刚体内各点的速度和加速度(1)速度大小(2)加速度 miri刚体运动随处可见,观览轮盘是一种具有水平转轴、能在铅垂平面 内回转的装置。轮盘和吊箱的运动各有什么样的特点?如何描述?飞轮 30 s 内转过的角度例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150rmin-1， 因受制动而均匀 减速，经 30 s 停止转动 . 试求： （1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数； （2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度； （3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加 速度 .解（1） t = 30 s 时，=0设t = 0 s时，0=0，飞轮做匀减速运动（2） t = 6 s时，飞轮的角速度（3） t = 6 s时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程一、力矩刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚 体上点 P , 且在转动平面内, 为由 点O 到力的作用点 P 的径矢 . 对转轴 Z 的力矩 P*O改变质点的运动状态质点获得加速度改变刚体的转动状态 刚体获得角加速度力 力矩 : 力臂对转轴 Z 的力矩 P*O(2)力不在垂直于轴的平面内(1)力F 在垂直于轴的平面内讨论1. 力 对z 轴的力矩第一项的方向与Z轴垂直，故在Z轴的分量为零。dA2）合力矩等于各分力矩的矢量和3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O根据牛顿第二定律，第 i 个质元圆周轨迹切线投影同乘以 ri对所有质元求和mihri-fifi二、定轴转动定律刚体的转动定律讨论(2) 转动惯量 转动惯性(1) 与牛顿定律 比较转动惯量 J外力矩 M内力矩为0外 力内 力ai=rim 反映质点的平动惯性，J 则反映刚体的转动惯性。三、 转动惯量的计算质量连续分布物体 物理意义：转动惯性的量度 . 确定转动惯量的三个要素: J 的单位（SI）：kgm2(1) 总质量；(2) 质量分布；(3) 转轴的位置质量连续分布物体例 均质细棒L、M ，绕端点轴z和质心轴z 的转动惯量。zoxdxx解质元质量质元转动惯量zL/2-x（1）J 与转轴的位置有关 例 等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量（2）J 与刚体的总质量有关 例 圆环绕中心轴旋转的转动惯量dlOm R（3） J 与质量分布有关 例 求圆盘绕中心轴旋转的转动惯量的计算Romrdr解dm 转动惯量平行轴定理dC mz例 均匀细棒的转动惯量mL:刚体绕任意轴的转动惯量:刚体绕通过质心轴的转动惯量:两轴间垂直距离L/ 2用平行轴定理、迭加法计算转动惯量J = J大 J小J = J大 + J小OMR.大圆盘上挖去小圆盘大圆盘上叠加上小圆盘右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯 量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）.(1) 滑轮的角加速度；(2) 如以重量P = 98 N 的物体挂在绳端，计算滑轮的角加速度解 (1)(2)四、 转动定律的应用举例例1.求滑轮半径 r =20 cm ，转动惯量 J = 0.5 kg m2。在绳端施以 F = 98 N 的拉力，不计摩擦力例2. 一定滑轮的质量为 m ，半径为 r ，不能伸长的轻绳两边分 别系 m1 和 m2 的物体挂于滑轮上，绳与滑轮间无相对滑 动. （设轮轴光滑无摩擦，滑轮的初角速度为零） 求：滑轮转动角速度随时间变化的规律. 解：以m1 ， m2 ， m 为研究对象, 受力 分析如图所示物体 m1：物体 m2：滑轮 m：均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求 它由此下摆 角时的 Olmx解质元dmgdm转动定律例3.dm 重力矩dxx重力对棒的合力矩等于重力全部集中于质心所产生的力矩rdr圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止例4.求 到圆盘静止所需时间。解细圆环圆盘摩擦力矩dm 摩擦力df 的力矩转动定律力矩的累积效果力矩的时间累积作用角冲量 的效果力矩的空间累积作用功 的效果角动量守恒定律机械能守恒定律5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理一、 定轴转动刚体的动能o第 i 个质元的动能刚体转动动能转动惯量说明刚体平动动能二、 力矩的功对一有限过程od若 M = C(2) 力矩的功就是力的功.(3) 内力矩作功之和为零.(1) 合力矩的功讨论 三、定轴转动动能定理对于一有限过程讨论外力做功等于定轴转动刚体的动能增量(3) 刚体动能的增量，等于外力的功。(2) 刚体的内力做功之和为零；(1) 质点系动能变化取决于所有外力做功及内力做功；刚体重力势能定轴转动刚体的机械能质心的势能对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立四、 刚体的机械能刚体的势能等于质量集中在质心时所具有的重力势能解例1. 滑轮 r 、 M，在绳的一端挂一重物 m ，开始时静止，不计摩擦力。hm 的重力势能转化为滑轮和m 的动能求 重物下落高度 h 时重物的速度v 。根据机械能守恒定律均匀细直棒m 、l ，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置求 它由此下摆 角时的 。Olm 解一 机械能守恒( 以初始位置为0势能点)例2.ch=解二 定轴转动动能定理 m 动能的增量等于重力做的功重力矩一、动量矩5.4 动量矩和动量矩守恒定律1. 质点的角动量( 对O点 )大小质点的角动量与质点的动量及位矢有关.特例 质点作圆周运动: 右手螺旋定则.kgm2/s 方向 单位 OS 惯性参照系动量矩与质点动量 对比， Jz m， v2. 刚体定轴转动的动量矩o刚体对z 轴的动量矩第 i 个质元对z 轴的动量矩z说明(角动量定理的积分形式)(角动量定理的微分形式)二、 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量已知 积分 冲量矩1. 质点的动量矩定理2. 质点动量矩守恒定律质点角动量守恒(1) 守恒条件(2) 向心力的角动量守恒。讨论(3)自然界普遍适用的一条基本规律.冲量矩是质点角动量变化的原因.质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果.说明 例1. 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的 点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小 球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动 量和角速度.解: 小球受重力和支持力作用, 支 持力的力矩为零,重力矩垂直纸 面向里由质点的角动量定理考虑到由题设条件积分上式解引力场（有心力）系统 的机械能守恒质点的角 动量守恒例2. 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M ,半径为 R 的行星.当 飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一质 量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。求 角 及着陆滑行时的速度多大？二、 刚体定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律1. 刚体定轴转动的动量矩定理质点的角动量定理质点系中任一质点所受力矩质点系中所有质点而 对定轴转动的刚体，Jz 为常量。动量矩定理微分形式将微分形式积分,得动量矩定理积分形式: J 不变时J 改变时2. 刚体定轴转动的动量矩守恒定律对定轴转动刚体若 角动量L不变的含义:刚体：J 不变 ，则 不变.非刚体：因 J 可变，则 J 乘积不变.变形体绕某轴转动时，若则变形体对该轴的动量矩(a) ，M，L，J 必须相对于同一转轴。(b) ，M，L， J 相对于同一惯性系。转动系统因为不是 惯性系，因此不能作为参考系。说明 动量矩守恒举例花样滑冰 、跳水、 芭蕾舞等质量分别为M1、M2,半径分别为R1 、R2的两均匀圆柱,可分别绕它们本身的轴转动,二轴平行.原来它们沿同一转向分别以10 ，20 的角速度匀速转动,然后平移二轴使它们的边缘相接触,如图所示.R1M1R2M2例3 求: 最后在接触处无相对滑动时,每个圆柱的角速度1、2 . 二圆柱系统角动量守恒：有以下的解法:在接触处无相对滑动时, 二圆柱边缘的线速度一样,故有：由以上二式就可解出1，2 .其中 这种解法对吗? R1M1R2M2原解认为系统的总角动量为二圆柱各自对自己的轴的角动量之 和是错误的, 因为系统的总角动量只能对某一个轴进行计算. 另 当两柱体边缘没有相对滑动时1，2方向相反，所以应为应对两圆柱分别使用角动量定理, 由于两柱接触时摩擦力大小 相等、方向相反,力矩和冲量矩的大小正比于半径,方向相同:解(1)(2)式, 得:例4. 一均质棒，长度为 L，质量为M，现有一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒 。求 子弹细棒共同的角速度 。解其中m子弹、细棒系统的动量矩守恒一长为 l 的匀质细杆，开始时杆静止于水平位置。一质量 与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距中点 l /4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动，Or昆虫落到杆上为完全非弹性碰撞，对于昆虫和杆构成的系统，昆虫重力忽略，系统动量矩守恒例5.解求 昆虫沿杆爬行的速度。v0昆虫的爬行，会改变系统的转 动惯量和受到的外力矩定轴转动刚体的动量矩定理 恒定定轴转动刚体的动量矩定理Or昆虫的爬行，会改变系统的转 动惯量和外力矩例6. 一匀质细棒长为l，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴 转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直 位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量为m，它 与地面的摩擦因数为。相撞后物体沿地面滑行一距离s而 停止。求:相撞后棒的质心C离地面的最大高度h，并说明 棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。分析：这个问题可分为三个过程。 第一：棒自由摆落的过程。第二：碰撞过程。第三：碰撞后的过程。CO解：（1）棒自由摆落的过程。只有重力作功，所以机械能守恒。设棒在竖直位置的质心 位置为势能零点。设棒运动到铅直位置时的