几何几何: : 魅力及应用魅力及应用丘成桐丘成桐 美国哈佛大学美国哈佛大学科学的兴起与个人修养、团体文化有直接的关科学的兴起与个人修养、团体文化有直接的关 系。系。假如一个人的一生目标以逐利当官为大前提，假如一个人的一生目标以逐利当官为大前提， 做学问顶多是一个过渡手腕，即使小有成就，也难做学问顶多是一个过渡手腕，即使小有成就，也难 以持久。推动科研的热情和好奇心很快就会冷淡。以持久。推动科研的热情和好奇心很快就会冷淡。 传世之学，更无足论了。传世之学，更无足论了。曾经有一段真挚的爱情摆在我面前，我没有去 珍惜。如果上天再给我一次机会，我会对那个女 孩说，我爱你。如果非要给这份爱加上个期限， 我希望是一万年。 即使我的学生中间也有很多年少得志的，不但有即使我的学生中间也有很多年少得志的，不但有 名闻全国，也有屡得奖于海外的。但往往沾沾自喜，名闻全国，也有屡得奖于海外的。但往往沾沾自喜， 以为学有成就，就争名逐利、自夸自大。往往急功近以为学有成就，就争名逐利、自夸自大。往往急功近 利，导致文章错误百出。又为了做院士，花了很多时利，导致文章错误百出。又为了做院士，花了很多时 间去巴结权贵。在这样的背景下，何以做高雅的学问，间去巴结权贵。在这样的背景下，何以做高雅的学问， 更遑论传世之学了。更遑论传世之学了。做大学问的学者，必需有崇高的志向。而立志不做大学问的学者，必需有崇高的志向。而立志不 易，必需有深厚的文化环境和朋友老师的激励才能形易，必需有深厚的文化环境和朋友老师的激励才能形 成这个先决的条件。成这个先决的条件。在西方，为了培养研究人员的素质，特别讲究通在西方，为了培养研究人员的素质，特别讲究通才教育。其实中国深厚的文化提供了做学问最好的背才教育。其实中国深厚的文化提供了做学问最好的背景，中国诗词歌赋意境高超，能够纯化个人的心志。景，中国诗词歌赋意境高超，能够纯化个人的心志。屈原天问篇一连问这么多问题，值得我们学习。孟子屈原天问篇一连问这么多问题，值得我们学习。孟子知言养气，是培养气质和做学问的很好的方法。知言养气，是培养气质和做学问的很好的方法。我年少时家贫，父亲却勉我以学问，不以我年少时家贫，父亲却勉我以学问，不以富贵为志。父亲写了一本西洋哲学史，引文心富贵为志。父亲写了一本西洋哲学史，引文心雕龙一小段，使我记忆尤深。雕龙一小段，使我记忆尤深。文心雕龙：文心雕龙：嗟呼，身与时舛，志共道申，嗟呼，身与时舛，志共道申，标心于万古之上，而送怀与千标心于万古之上，而送怀与千载之下。载之下。崇基学院门前对联崇基学院门前对联崇高惟博爱本天地立心无间东西沟通学术崇高惟博爱本天地立心无间东西沟通学术基础在育才当海山胜境有怀抱与陶铸人群基础在育才当海山胜境有怀抱与陶铸人群丘镇英丘镇英父亲很注重我有崇高的志向，所以父亲很注重我有崇高的志向，所以 很早教导我的古文中就有左传论三不朽很早教导我的古文中就有左传论三不朽 的文章。的文章。 左传左传叔孙豹论三不朽叔孙豹论三不朽太上有立德，其次有立功，其次有太上有立德，其次有立功，其次有 立言，虽久不废，此之谓不朽。立言，虽久不废，此之谓不朽。立德立功之道，必以谦让质朴为主立德立功之道，必以谦让质朴为主 会当凌绝顶，一览众山小轻妄浮誇会当凌绝顶，一览众山小轻妄浮誇 之言也。之言也。从中国古文中，可以看到做科学的方法，从中国古文中，可以看到做科学的方法， 例如：例如：王国维论做大学问三个过程王国维论做大学问三个过程晏殊晏殊 昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路。柳永柳永 衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。辛弃疾辛弃疾 众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯 火阑珊处。火阑珊处。其实我想加一首词：其实我想加一首词：宋徽宗宋徽宗 天遥地远，万水千山，知他故宫何处，怎天遥地远，万水千山，知他故宫何处，怎 不思量，除梦里有时曾去。不思量，除梦里有时曾去。除了中国古代文学对我的影响外，我也看翻译的西方文学除了中国古代文学对我的影响外，我也看翻译的西方文学 作品，其中一首诗使我十分感动的是：作品，其中一首诗使我十分感动的是：英国大诗人拜伦英国大诗人拜伦“ “希腊啊！你本是平和时代的爱娇，你本是战争时代的天希腊啊！你本是平和时代的爱娇，你本是战争时代的天 骄。撒芷波，歌声高，女诗人，热情好。更有那德罗士、菲波骄。撒芷波，歌声高，女诗人，热情好。更有那德罗士、菲波 士荣光常照。此地是艺文旧垒，技术中潮，如今在否？算除却士荣光常照。此地是艺文旧垒，技术中潮，如今在否？算除却 太阳光线，万般没了。太阳光线，万般没了。” ”“ “马拉顿前啊！山容缥缈。马拉顿后啊！海门环绕。如此好马拉顿前啊！山容缥缈。马拉顿后啊！海门环绕。如此好 山河，也应有自由回照。我向那波斯军墓门凭眺。难道我为奴为山河，也应有自由回照。我向那波斯军墓门凭眺。难道我为奴为 隶，今生便了？不信我为奴为隶，今生便了。隶，今生便了？不信我为奴为隶，今生便了。” ”梁启超翻译梁启超翻译欧几里得欧几里得( (公元前公元前350350年年) ) 原本原本 欧几里得几何公设欧几里得几何公设 任意两点间可作唯一的直线任意两点间可作唯一的直线 任何线段可以无限延长任何线段可以无限延长 以任一点为中心和任一距离为半以任一点为中心和任一距离为半 径可作一圆径可作一圆 所有直角彼此相等所有直角彼此相等 对于一直线对于一直线L L和该直线外的一点和该直线外的一点 P P，存在唯一通过存在唯一通过P P，并和并和L L不不 相交的直线。相交的直线。 几何公设仅是一些定义。几何公设仅是一些定义。庞加莱庞加莱毕达哥拉斯毕达哥拉斯 给出一个直角三角形给出一个直角三角形 该定理是几何学的一个基础该定理是几何学的一个基础 三元数组三元数组(3,4,5)(3,4,5) 在古代文明中是非常著名的。我在古代文明中是非常著名的。我 们称们称 (a,b,c)(a,b,c) 为毕达哥拉斯三元数组。为毕达哥拉斯三元数组。毕达哥拉斯三元数组毕达哥拉斯三元数组 希腊人意识到，当希腊人意识到，当 时，时，c c 不是有理数，不是有理数， 也就是说，也就是说，c c 不是两个整数的商。不是两个整数的商。 可以用下面的公式找到整数的毕达哥拉斯三元数组可以用下面的公式找到整数的毕达哥拉斯三元数组这里这里 都是正整数。都是正整数。 （毕达哥拉斯，欧几里得，丢番图毕达哥拉斯，欧几里得，丢番图）毕达哥拉斯三元数组毕达哥拉斯三元数组 一个困难问题：分类所有的有理数毕达哥拉斯三一个困难问题：分类所有的有理数毕达哥拉斯三 元数组，使其对应的直角三角形的面积为整数。元数组，使其对应的直角三角形的面积为整数。 这样的整数叫同余数。这样的整数叫同余数。 同余数：例如，同余数：例如，1 1，2 2，3 3，4 4不是；不是；5 5，6 6，7 7是。是。 面积为面积为5 5同同 余余 数数 19831983年，年， TunnellTunnell用用 Birch-Swinnerton-Dyer Birch-Swinnerton-Dyer 猜想猜想 证明了：证明了：如果如果 n n 是一个奇的非平方整数，是一个奇的非平方整数， n n 是同余数是同余数 当且仅当满足方程当且仅当满足方程的三元数组的三元数组(x,y,z)(x,y,z) 的个数是满足方程的个数是满足方程 的三元数组的三元数组(x,y,z)(x,y,z) 的个数的两倍。的个数的两倍。椭椭 圆圆 曲曲 线线 如果同余数如果同余数n n 是由三元数组是由三元数组(x,y,z)(x,y,z)构成的直角三角构成的直角三角 形的面积，这里形的面积，这里 x,y,z x,y,z 均是有理数，设均是有理数，设 我们发现我们发现满足该方程的曲线叫椭圆曲线，它们构成一个群。满足该方程的曲线叫椭圆曲线，它们构成一个群。椭圆曲线椭圆曲线 如果如果 和和 是一曲线的两点，是一曲线的两点， 是直线是直线 和该曲线的交点，那么和该曲线的交点，那么 稍后我们将看到椭圆曲线在现代几何和在弦理论稍后我们将看到椭圆曲线在现代几何和在弦理论 中起着非常重要的作用。中起着非常重要的作用。椭圆曲线椭圆曲线 同余数同余数 n n 是同余数是同余数 椭圆曲线椭圆曲线 有无限多个有理数有无限多个有理数 解。解。 某些相伴的函数在某些相伴的函数在 处为零。处为零。 Theta Theta函数的某些积的系数为零。函数的某些积的系数为零。柏拉图多面体柏拉图多面体 正多面体是凸体，每个面是相同的正多边形，每正多面体是凸体，每个面是相同的正多边形，每 个顶点相连着同样数目的面。个顶点相连着同样数目的面。 仅有五种：正四面体，立方体，正八面体，正十仅有五种：正四面体，立方体，正八面体，正十 二面体，正二十面体。二面体，正二十面体。柏拉图多面体柏拉图多面体 这些多面体和复奇点的现代理论有关，也和弦理这些多面体和复奇点的现代理论有关，也和弦理 论中非紧致卡拉比论中非紧致卡拉比丘成桐流形有关。丘成桐流形有关。 各多面体间的对偶各多面体间的对偶面面 顶点顶点 边边 正四面体正四面体 4 4 4 4 6 6立方体立方体 6 6 8 8 12 12 正八面体正八面体 8 8 6 6 12 12 正十二面体正十二面体 12 12 20 20 30 30正二十面体正二十面体 20 20 12 12 30 30欧欧 拉拉 数数 对于柏拉图多面体对于柏拉图多面体: : 欧拉注意到如果一个闭曲面能连续地形变到一个欧拉注意到如果一个闭曲面能连续地形变到一个 闭的多面体。分别记闭的多面体。分别记V,E,F,V,E,F,为该多面体的顶点数为该多面体的顶点数, , 边数和面数，那么边数和面数，那么这里这里 h h 是环柄个数是环柄个数 对于球面对于球面, , h=0h=0, , 2(1-h) 2(1-h) 称为称为欧拉数欧拉数欧欧 拉拉 数数 环柄数分别为环柄数分别为 1, 2, 3 1, 2, 3对称性对称性正多面形正多面形 正多面体、砖瓦面、几何图案给出对称性概念，正多面体、砖瓦面、几何图案给出对称性概念， 支配着几何学的发展。支配着几何学的发展。 晶体按照对称群分类晶体按照对称群分类高斯高斯博涅公式博涅公式 对多面体我们可以指定与某个顶点对多面体我们可以指定与某个顶点 v v 相相 连的面的曲率为连的面的曲率为- - 与与 v v 相连的面的内夹角相连的面的内夹角 所有顶点处曲率之和为所有顶点处曲率之和为 高斯高斯- -博涅博涅-