第八章 平面向量第1讲平面向量及其线性运算考纲要求考情风向标 1.平面向量的实际背景及基本概念. (1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算. (1)掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线 的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及坐标表示. (1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.从近几年的高考试题看， 向量的线性运算、共线问 题是高考的热点，尤其是 向量的线性运算出现的 频率最高，多以选择题 、 填空题的形式出现，属中 低档题目. 预计 2015 年高考仍将以 向量的线性运算、向量的 基本概念为主要考点，也 可与向量加、减的三角形 法则和平行四边形法则 交汇命题.名称定义备注向量既有_又有_的量；向量的 大小叫做向量的_(或称_)平面向量是自由向量零向量长度为_的向量；其方向是任意的记作_单位向量长度等于_的向量非零向量 a 的单位向量为共线向量 (平行向量)方向_或_的非零向量零向量与任一向量_或共线相等向量长度_且方向_的向量记作 ab1.向量的有关概念大小方向 长度模零01 个单位相同相反平行相等相同向量 运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律： ab_.(2)结合律：(ab)c_减法求 a 与 b 的相反向 量b 的和的运算叫做 a 与 b 的差_法则aba(b)2.向量的线性运算三角形baa(bc)三角形平行四边形向量 运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数与向量 a 的积的运算(1)|a|_ (2)当0 时，a 的方向与 a 的方向_；当0 时，a 的方向与 a 的方向_；当0 时，a_(a)_； ()a_；(ab)_(续表)相同相反0aaaab|a|3.平面向量基本定理不共线 如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4.平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模：(2)向量坐标的求法：若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，(x1，y1)5.共线向量及其坐标表示(1)向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得_.ba(2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0，当且仅当 x1y2x2y10 时，向量 a，b 共线.)A1.设平面向量 a(3,5)，b(2,1)，则 a2b(A.(7,3)B.(7,7) C.(1,7)D.(1,3) 解析：依题意得 a2b(3,5)2(2,1)(7,3).D3.(2013 年广东汕头二模)如图 8-1-1，在正六边形 ABCDEF图 8-1-1D5.已知向量p(2，3)，q(x,6)，且pq，则|pq|的值为_. C考点 1 平面向量的基本概念例 1：(1)已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A.外心C.内心B.垂心D.重心答案：DA.外心B.内心C.重心D.垂心量，故点 P 在BAC 的平分线上，所以点 P 的轨迹通过ABC的内心.答案：B【互动探究】A.2C.4B.3D.5BA.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心答案：C考点 2 向量共线或平行问题答案：B答案：B解析：A，B，C三点共线，a2a20121.an为等差数列，【互动探究】A16考点 3 向量的应用【方法与技巧】以线段 AB，AC 为邻边的平行四边形的两【互动探究】6.如图 8-1-2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起.图 8-1-2解析：以 AB 所在直线为 x 轴，以 A 为原点建立平面直角坐标系如图 D24，图 D24易错、易混、易漏利用方程的思想求解平面向量问题图 8-1-3【失误与防范】(1)学生的易错点是：找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(2)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视 A，M，D 共线和 B，M，C 共线这两个几何特征.