知识能否忆起一、空间图间图 形的基本关系1点和直线线的位置关系有两种： 和2点和平面的位置关系有两种： 和 点在直线线上点在直线线外点在平面内点在平面外3空间间两条直线线的位置关系有三种：4空间间直线线和平面的位置关系有三种：、直线线和平面相交、 5空间间两平面的位置关系有两种： 平行相交和异面直线线在平面内直线线与平面平行平行、相交二、空间图间图 形的公理及等角定理 文字语语言图图形语语言符号语语言 公 理 1如果一条直线线上的在一个平面内， 那么这这条直线线上所有 的点都在这这个平面内 (即直线线 )若Al，Bl， A，B， 则则公 理 2经过经过 不在同一条直线线上 的三点， 一 个平面(即可以确定一个 平面)若A、B、C三点 不共线线，则则有且 只有一个平面， 使A，B， C两点在平面内l 有且只有文字语语言图图形语语言符号语语言 公理 3如果两个不重合的平 面 ， 那么它们们 一条通过这过这 个点的公 共直线线若A，A，则则公理 4平行于同一条直线线的 两条直线线若ab，bc，则则等角 定理空间间中，如果两个角 的两条边边，那么这这两个 角相等或互补补若AOAO， BO ，则则 AOBAOB ，AOC AOB有一个公共点 有且只有 l，且Al平行分别对应别对应 平行BOac小题题能否全取1(教材习题习题 改编编)已知a，b是异面直线线，直线线c平行于直线线a，那么c与b ( )A异面 B相交C不可能平行 D不可能相交解析：由已知直线线c与b可能为为异面直线线也可能为为相交直线线，但不可能为为平行直线线，若bc，则则ab.与a，b是异面直线线相矛盾答案：C2(2012东东北三校联联考)下列命题题正确的个数为为 ( )经过经过 三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这则这 两个平面重合A0 B1C2 D3解析：错误错误 ，正确答案：C3已知空间间中有三条线线段AB，BC和CD，且ABCBCD，那么直线线AB与CD的位置关系是 ( )AABCDBAB与CD异面CAB与CD相交DABCD或AB与CD异面或AB与CD相交解析：若三条线线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则则直线线AB与CD相交，否则则直线线AB与CD平行；若不共面，则则直线线AB与CD是异面直线线答案：D4已知平面平面l，直线线m ，直线线n ，mnP，则则点P与直线线l的位置关系用符号表示为为_解析：P是两个平面的公共点，故P应应在平面与的交线线上，即Pl.答案：Pl5下列命题题中不正确的是_(填序号)没有公共点的两条直线线是异面直线线；分别别和两条异面直线线都相交的两直线线异面；一条直线线和两条异面直线线中的一条平行，则则它和另一条直线线不可能平行；一条直线线和两条异面直线线都相交，则则它们们可以确定两个平面解析：没有公共点的两直线线平行或异面，故错错；命题题错错，因为为两直线线有可能相交；命题题正确，因为为若直线线a和b异面，ca，则则c与b不可能平行，用反证证法证证明如下：若cb，又ca，则则ab，这这与a，b异面矛盾，故c与b不可能平行；命题题也正确，若c与两异面直线线a，b都相交，由公理3可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样这样 a，b，c共确定两个平面答案：三个公理的作用(1)公理1的作用：检验检验 平面；判断直线线在平面内；由直线线在平面内判断直线线上的点在平面内(2)公理2的作用：确定平面的依据，它提供了把空间间问题转问题转 化为为平面问题问题 的条件(3)公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线线；证证明多点共线线例1 (2012台州模拟拟)以下四个命题题中不共面的四点中，其中任意三点不共线线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则则点A 、B、C、D、E共面；若直线线a、b共面，直线线a、c共面，则则直线线b、c共面；依次首尾相接的四条线线段必共面 正确命题题的个数是 ( )空间图间图 形的公理及简单应简单应 用A0 B1C2 D3自主解答 假设设其中有三点共线线，则该则该 直线线和直线线外的另一点确定一个平面这这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线线，则则结论结论 不正确；不正确；不正确，因为为此时时所得的四边边形的四条边边可以不在一个平面内，如空间间四边边形答案 B判断所给给元素(点或直线线)是否共面，关键键是分析所给给元素是否具有确定唯一平面的条件，如不具备备，则则不在同一个平面内，即不共面 1(1)(2012南通月考)在空间间中，给给出下列命题题：若两个平面有一个公共点，则则它们们有无数个公共点；若空间间四个点中任意三点不共线线，则这则这 四个点不共面；两个不平行平面的交线线只有一条任意两条直线线不能确定一个平面其中不正确的命题题是_(填写所有不正确的命题题的序号)(2)(2012沈阳模拟拟)如图图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别别是所在棱的中点，则这则这 四个点不共面的一个图图是( ) 解析：(1)由公理3得，若两个平面有一个公共点，则则它们们相交于过这过这 一点的一条直线线，因此，有无数个公共点，正确；不正确，如平行四边边形的四个顶顶点中任意三点不共线线，但四点共面；满满足公理3，因此正确；如果两条直线线平行或相交，则则可以确定一个平面，因此是错误错误 的(2)选项选项 A、B、C图图中四点一定共面，D中四点不共面答案：(1) (2)D异面直线的判定例2 (2012金华模拟)在图图中，G，N，M，H分别别是正三棱柱的顶顶点或所在棱的中点，则则表示直线线GH，MN是异面直线线的图图形有_(填上所有正确答案的序号)自主解答 图图中，直线线GHMN；图图中，G，H，N三点共面，但M面GHN，因此直线线GH与MN异面；图图中，连连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图图中，G，M，N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图图中GH与MN异面答案 1异面直线线的判定常用的是反证证法，先假设设两条直线线不是异面直线线，即两条直线线平行或相交，由假设设的条件出发发，经过严经过严 格的推理，导导出矛盾，从而否定假设设肯定两条直线线异面此法在异面直线线的判定中经经常用到2客观题观题 中，也可用下述结论结论 ：过过平面外一点和平面内一点的直线线，与平面内不过该过该 点的直线线是异面直线线2已知m，n，l为为不同的直线线，为为不同的平面，有下面四个命题题：m，n为为异面直线线，过过空间间任一点P，一定能作一条直线线l与m，n都相交m，n为为异面直线线，过过空间间任一点P，一定存在一个与直线线m，n都平行的平面，l，m，n，m，n与l都斜交，则则m与n一定不垂直；m，n是内两相交直线线，则则与相交的充要条件是m，n至少有一条与相交则则四个结论结论 中正确的个数为为 ( )A1 B2C3 D4 解析：错误错误 ，因为过为过 直线线m存在一个与直线线n平行的平面，当点P在这这个平面内且不在直线线m上时时，就不满满足结结论论；错误错误 ，因为过为过 直线线m存在一个与直线线n平行的平面，当点P在这这个平面内时时， 就不满满足结论结论 ；正确，否则则，若mn，在直线线m上取一点作直线线al，由，得an.从而有n，则则nl；正确答案：B共点、共线、共面问题的证明1证证明三点共线线的方法有两种：一是这这三点都是某两个平面的公共点，于是这这三点都在这这两个平面的交线线上；二是选择选择 其中两点确定一条直线线，证证明第三点也在这这条直线线上2证证明三线线共点的方法：先证证明两条直线线交于一点，再证这证这 一点也在第三条直线线上3证证明一点在一条直线线上通常是证证明点是两个平面的公共点，线线是两个平面的交线线，从而公共点在交线线上典例 (2012浙江高考)设设l是直线线，是两个不同的平面 ( )A若l，l，则则 B若l，l，则则C若，l，则则l D若，l，则则l常规规解法 设设a，若直线线la，且l，l，则则l，l，因此不一定平行于，故A错误错误 ；由于l，故在内存在直线线ll.又因为为l.所以l，故，所以B正确；若，在内作交线线的垂线线l，则则l，此时时l在平面内，因此C错误错误 ；已知，若a，la，且l不在平面，内，则则l且l，因此D错误错误 答案 B(1)构造法实质实质 上是结结合题题意构造适合题题意的直观观模型，然后将问题问题 利用模型直观观地作出判断，这样这样减少了抽象性，避免了因考虑虑不全面而导导致解题错误题错误(2)对对于线线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长长方体或正方体化抽象为为直观观去判断巧思妙解 借助于长长方体模型解决本题题：对对于A，如图图，与可相交；对对于B，如图图，不论论在何位置，都有；对对于C，如图图，l可与平行或l内；对对于D，如图图，l或l或l.(2012大连二模)平面外有两条直线线m和n，如果m和n在平面内的射影分别别是直线线m1和直线线n1，给给出下列四个命题题：m1n1mn；mnm1n1；m1与n1相交m与n相交或重合；m1与n1平行m与n平行或重合其中不正确的命题题个数是( )A1 B2C3 D4.解析：如图图，在正方体ABCDA1B1C1D1中AD1，AB1，B1C在底面上的射影分别别是A1D1，A1B1，B1C1.A1D1A1B1，但AD1不垂直AB1，故不正确；又AD1B1C，但A1D1B1C1，故也不正确；若m1与n1相交，则则m与n还还可以异面，不正确；若m1与n1平行，m与n可以平行，也可以异面，不正确答案：D教师备选题（给有能力的学生加餐）1(2013黑龙龙江部分重点中学质检质检 )已知平面平面，点A，则过则过 点A且垂直于平面的直线线 ( )A只有一条，不一定在平面内B有无数条，不一定在平面内C只有一条，一定在平面内D有无数条，一定在平面内解题训练要高效 见“课时跟踪检 测（四十三