第 一 章 立 体 几 何 初 步1简 单 几 何 体理解教材新知把握热点考向应用创新演练知识点一知识点二考点一考点二考点三在我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何结构特征观察下面的图片，回答下列问题问题1：从“形”的角度入手，观察它们的表面，可以怎样分类？为什么这样分类？ 提示：(1)、(3)、(4)、(6)、(8)、(10)、(11)、(12)属于一类，它们可以看成是由某平面图形绕某条直线旋转而成，它们的表面中有一“面”为曲面问题2：在上面图形中，(2)、(5)、(7)、(9)具有什么特征？提示：它们都是由多个平面多边形围成的几何体，与其他的几何体有着本质的区别1旋转体：一条 绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的 叫作旋转面； 旋转面围成的几何体叫作旋转体平面曲线曲面封闭的2几种简单旋转体 名称定义义图图形表示相关概念球以半圆圆的 所在的直线为线为 旋转轴转轴 ，将半圆圆旋转转所形成的 叫作球面， 所围围成的几何体叫作球体，简简称球球心：半圆圆的球的半径：连连接球心和球面上任意一点的球的直径：连连接球面上两点并且过过的线线段线线段球心直径曲面球面圆圆心圆圆柱、圆锥圆锥、圆圆台分别别以矩形的 、直角三角形的一条直角边边、直角梯形垂直于底边边的腰所在的直线为线为 旋转轴转轴 ，其余各边边旋转转而形成的曲面所围围成的几何体分别别叫作圆圆柱、圆锥圆锥 、圆圆台高：在 上这这条边边的长长度底面：垂直于 的边边旋转转而成的侧侧面： 的边边旋转转而成的曲面母线线：不垂直于旋转轴转轴 的边边旋转转，无论转论转 到什么位置都叫作侧侧面的母线线旋转轴转轴旋转轴转轴圆圆面不垂直于旋转轴转轴一边边相关概念图图形表示定义义名称圆圆柱、圆锥圆锥、圆圆台分别别以矩形的 、直角三角形的一条直角边边、直角梯形垂直于底边边的腰所在的直线为线为 旋转轴转轴 ，其余各边边旋转转而形成的曲面所围围成的几何体分别别叫作圆圆柱、圆锥圆锥 、圆圆台高：在 上这这条边边的长长度底面：垂直于 的边边旋转转而成的侧侧面： 的边边旋转转而成的曲面母线线：不垂直于旋转轴转轴的边边旋转转，无论转论转 到什么位置都叫作侧侧面的母线线旋转轴转轴旋转轴转轴圆圆面不垂直于旋转轴转轴一边边名称定义义图图形表示相关概念在形形色色的物体中，它们不仅有旋转体，还有不同于旋转体的物体，观察下面的几何体，回答下列问题问题1：图中的几何体有什么共同特征？提示：它们都是由平面图形围成，其中每一个面都是平面多边形问题2：图片中(1)、(2)、(3)所表示的几何体有什么共同特征提示：都是有两个互相平行平面，其余各面均为平行四边形问题3：图片中(4)、(5)、(6)所表示的几何体有什么共同特征？提示：其中一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形1多面体：把若干个 围成的几何体叫作多面体，其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体2棱柱(1)定义：两个面 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都 ，这些面围成的几何体叫棱柱两个互相平行的面叫作棱柱的 ，其余各面叫作棱柱的的 平面多边形互相平行四边形互相平行底面侧面(2)相关概念：3棱柱、棱台名称图图形结结构特征侧侧面的形状棱锥锥有一个面是 ，其余各面是 的三角形三角形正棱锥锥底面是 ，且各侧侧面 的棱锥锥全等的有一个公共顶顶点正多边边形全等等腰三角形多边边形棱台用一个 棱锥锥底面的平面去截棱锥锥，底面与截面之间间的几何体梯形正棱台由 截得的棱台全等的 等腰梯形正棱锥锥平行于名称图图形结结构特征侧侧面的形状圆圆柱圆锥圆锥圆圆台球底面两底面是平行且半径相等的圆圆圆圆两底面是平行且半径不相等的圆圆无母线线平行且相等相交于顶顶点延长线长线 交于一点无1.圆柱、圆锥、圆台、球的简单性质，如下表所示平行于底面的截面与两底面半径相等的圆圆与底面半径不相等的圆圆与两底面半径不相等的圆圆无过轴过轴 的截面矩形等腰三角形等腰梯形圆圆面圆圆柱圆锥圆锥圆圆台球2棱柱的性质有(1)侧棱互相平行且相等，侧面都是平行四边形(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图所示(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图所示3棱锥的性质有(1)侧棱有公共点即棱锥的顶点，侧面都是三角形(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图所示.(3)过不相邻的两侧棱的截面是三角形，如图所示4棱台的性质有(1)侧棱延长后交于一点，侧面是梯形(2)两底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图所示.(3)过不相邻的两侧棱的截面是梯形，如图所示5柱、锥、台间的关系可用下面图示表示例1 下列叙述正确的个数是 ( )以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；圆绕它的任一直径旋转形成的几何体是球A0 B1C2 D3思路点拨 解答时可根据旋转体的概念和性质，具体分析.精解详析 应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1，故错；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图2，故错；用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故错；正确答案 B一点通 对旋转体定义的理解要准确，判断时要抓住旋转体的结构特征，认真分析，对比判别1有下列命题，其中正确的是 ( )在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点 的连线是圆柱的母线 圆锥顶点与底面圆周上任意 一点的连线是圆锥的母线 在圆台上、下底面圆周 上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 圆柱 的任意两条母线所在的直线都是互相平行的A BC D解析：圆柱(或圆台)中上、下底面圆周上任意两点的连线，不一定是矩形(或直角梯形)中“不垂直于旋转轴的边”故错误，正确答案：D2有下列说法：球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转 一周形成的旋转体；球的直径是球面上任意两点间的连线；用一个平面截一个球，得到的是一个圆；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球其 中正确的序号是 .解析：球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以错误答案：例2 如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，判断是几棱柱并找出棱柱的底面；如果不是，请说明理由(3)几何体A1EFD1ABCD是棱台吗？思路点拨 利用棱柱的定义进行判断精解详析 (1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面它们互相平行且都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行(2)截面BCFE右上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中BEB1和CFC1是底面截面BCFE左下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四边形ABEA1和DCFD1是底面(3)因为AA1，DD1不相交，所以AA1，DD1，BE，CF延长后不交于一点，因此不是棱台一点通 对于棱柱，不要只认为底面就是上、下位置，如本题，底面可放在前后位置只有理解并掌握好各种简单多面体的概念，以及相应的结构特征，才不至于被表面假象所迷惑，从而对问题作出正确的判断3下列几何体中棱柱的个数为 ( ) A5 B4C3 D2解析：是棱柱，不是棱柱答案：D4若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不 是 ( )A三棱锥 B四棱锥C五棱锥 D六棱锥解析：因为正六边形的中心到各顶点的距离等于边长， 所以若底面边长与侧棱长相等时，六棱锥就成了平面图形.答案：D5给出下列几个结论：棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；多面体至少有四个面； 棱台的侧棱所在直线均相交于同一点其中，错误的个数是 ( )A0 B1C2 D3解析：显然是正确的；对于，显然一个图形要成为空间几何体，则它至少需有四个顶点，因为三个顶点只围成一个平面图形是三角形，当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故是正确的；对于，棱台的侧棱所在的直线就是原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故是正确的答案：A例3 观察图中的组合体，分析它们是由哪些简单几何体组成的，并说出主要结构特征(面数，顶点数，棱数)思路点拨 认真分析所给几何体的结构，结合组合体的特征和构成形式说明组合体的构成精解详析 图(1)是由一个四棱柱在它的上、下底面上向内挖去一个三棱柱形成的组合体，它有9个面，14个顶点，21条棱，具有四棱柱和三棱柱的结构特征.图(2)是由一个四棱柱和一个底面与四棱柱上底面重合的四棱锥组合而成的组合体，它有9个面，9个顶点，16条棱，具有四棱柱和四棱锥的结构特征图(3)是由一个三棱柱和一个下底与三棱柱上底重合的三棱台组成的组合体，它有9个顶点，8个面，15条棱，具有三棱柱和三棱台的结构特征一点通 组合体的构成，基本上有三类：(1)多面体与多面体的组合体；(2)多面体与旋转体的组合体；(3)旋转体与旋转体的组合体6说出下列组合体是由哪些简单几何体组成的解：图是由一个四棱柱和一个四棱台组合而成图是由一个圆锥和一个圆柱组合而成图是由一个圆柱和两个圆台组合而成7如图所示几何体可看作由什么图形旋转360得到？画出平面图形和旋转轴解：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形