第二章 随机变量及其分布2.4 连续型随机变量及其概率密度1定义1 如果对随机变量X 的分布函数F(X) ，存在 一个非负可积函数 f ( x ), 使得则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的 概率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数 或概率密度一、连续型随机变量的概念2xf ( x)xF ( x )分布函数F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义3概率密度函数的性质1)2) 1这两条性质是判定一 个函数 f(x)是否为某 个随机变量X的概率 密度函数的充要条件.3) X落入区间a,b内的概率 4注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关由此可得这是因为5故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.若x是 f(x)的连续点，则：=f(x)() 对 f(x)的进一步理解6事实上，若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量 X 取值于 的 概率近似等于 .在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.7密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反 映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附 近的程度.1问题：f (a)是=a的概率吗？8PX=a=0而 X=a 并非不可能事件.可见， 由P(A)=0, 不能推出由P(B)=1, 不能推出 B=问题：概率为零的事件一定是不可能事件 吗？类似可知，9例1 设随机变量的密度函数为求其分布函数解当当10当故11例2 设随机变量的分布函数为求 (1) 概率(2)的密度函数. 解 由连续型随机变量分布函数的性质, 有(1)12例2 设随机变量的分布函数为求 (2)的密度函数. 解 (2)的密度函数为13解例3得141516今日作业：P50： 1 , 2. 谢谢大家！17二、 常用连续型分布. 均匀分布18X 的分布函数为19均匀分布的意义事实上，若X U(a, b)，则对于满足的c,d, 总有20均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五 入，小数 点后某一位小数引入的误差，例如对小数点 后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误 差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。如公交系统中乘客随机乘车的等车时间21例4 某公共汽车站从上午 7 时起, 每 15 分钟来一班车, 即 7:00, 7:15, 7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站, 如果乘客到达此站时间是 7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于 5 分钟的概率.解 以 7:00 为起点 0, 以分为单位, 依题意22为使候车时间少于 5 分钟, 乘客必须在 7:10 到 7:15 之间, 或在 7:25 到 7:30 之间到达车站, 故所 求概率为即乘客候车时间少于5分钟的概率是 1/3.232、 指数分布若 X 的密度函数为则称 X 服从 参数为的指数分布记作X 的分布函数为 0 为常数24指数分布的重要性质 :“无记忆性”.证明指数分布的无记忆性是使其具有广泛应用的重要原因！ 25指数分布在可靠性理论中描绘设备工作的可靠时 间.有些系统的寿命分布也可用指数分布来近似, 当电 子产品的失效是偶然失效时,其寿命服从指数分布.在排队论中它被广泛地用于描绘等待时间,如电话 通话时间、各种随机服务系统的服务时间、等待时间 等.在更新和维修问题中描绘设备的寿命和维修时间. 指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况.一般地, 当随机质点流中在长 t 的时间内出现的质 点数服从参数为t 的泊松分布时,其相继出现两个质点 的事件间就服从参数为 的指数分布. 26例5 某元件的寿命服从指数分布, 已知其参数 求 3 个这样的元件使用 1000 小时, 至少已有一个损坏的概率.解 由题设知,的分布函数为由此得到27例5 某元件的寿命服从指数分布, 已知其参数 求 3 个这样的元件使用 1000 小时, 至少已有一个损坏的概率.解 各元件的寿命是否超过1000小时是独立的,用表示三个元件中使用 1000 小时损坏的元件数,所求概率为则283. 正态分布(或高斯分布)29正态概率密度函数的几何特征303132即f (x) 的两个参数： 位置参数即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x) 的形状不变化，只是位置不同 形状参数 固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同.若 1 2 则比x = 2 所对应的拐点更靠近直线 x = 附近值的概率更大. x = 1 所对应的拐点前者取 33正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景 34正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下 情形加以说明： 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布 之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分 布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素 的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用， 则该随机指标一定服从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许 多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布的重要性35正态分布的分布函数36正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数方法一:利用统计软件计算方法二:转化为标准正态分布查表计算37标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为38标准正态分布的图形39查表标准正态分布函数表解例6 40由标准正态分布概率密度图形的对称性易知：即41证明 Y 的分布函数为为.所以42将上两式分别对求y导,得43(2) 在(1)中取44注 如果 那么45例7 设求解 这里故查表得0.9772;46例7 设求解6 . 10XP;3094. 0=47例8 设某项竞赛成绩若按参赛人数的 10% 发奖, 问获奖分数线应定为多少?解 设获奖分数线为立的即则求使成48例8 设某项竞赛成绩若按参赛人数的 10% 发奖, 问获奖分数线应定为多少?解 设获奖分数线为立的即则求使成查表得解得定为78分.故分数线可49例9解假设某地区成年男性的身高(单位:厘米)求该地区成年男性的身高超过厘米的概率 .根据假设且表示该地区成年男性的身高超过厘米 , 可得50例10格品的概率.已知某台机器生产的螺栓长度(单位:厘米)根据假设 记 表示螺栓为合格品.则解于是规定螺服从参数的正态分布. 内为合格品,栓长度在试求螺栓为合即螺栓为合格品的概率等于 0.9544.51例11在电源电压不超过 200 伏, 在 200240 伏和超过 240 伏三种情形下, 某种电子元件损坏的概率分别为 0.1, 0.001 和 0.2.假设电源电压服从正态分布试求:(1) 该电子元件损坏的概率(2) 该电子元件损坏时, 电源电压在 200240 伏的概率52解 引入事件 电压不超过 200 伏, 电压不超过 200240 伏, 电压超过240伏; 电子元件损坏. 由条件知因此2525532554(1) 由题设条件,于是由全概率公式, 有(2) 由贝叶斯公式, 有553 法则：服从正态分布 的随机变量X落在区间 内的概率为0.9974，落在该区间外的概率只有0.0026.也就是说，X几乎不可能在区间之外取值。 事实上，若 则56今日作业：P50： 4 , 8 , 14. 谢谢大家！57