自动控制原理有志者事竞成 大连民族学院机电信息工程学院 College of Electromechanical Information Engineering第二章控制系统的数学模型Chapter 2 Mathematical model of control system大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型2.3 传递函数2.3.12.3.22.3.3传递函数的定义传递传递函数的基本性质控制系统的典型环节及传递函数大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型微分方程形式的数学模型在实际应用中一般会遇 到如下的困难：1）微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且 计算的工作量大。2）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定 信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、 参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用 微分方程式去描述是难于实现的。在控制工程中，一般并不需要精确地求系统 微分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希 望用简单的办法了解系统是否稳定及其在动态过程 中的主要特征，能够判别某些参数的改变或校正装 置的加入对系统性能的影响。大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型下面以一个简单的R-C电路为例，说明卷积积分的应 用。 已知一R-C电路如图2-12所示，其中输入电压为 ， 输出为电容两端的充电电压 。由基尔霍夫定律得因为 ，则上式便改写为这就是该电路的微分方程式。 方程两端进行拉氏变换2.3.1 传递函数(transfer function)的定 义大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型若 则有其中， 若 则有大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型传递函数的图示：传递函数的图示：当初始电压为零时，电路输出函数的拉氏变换函数与输入函数拉氏变换之比，是一个只与电路结构与参数有关的函数，称为传递函数。大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型式中， 为系统的输入量； 为系统的输出量。 在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得设线性定常数系统的微分方程式为大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型系统的传递函数定义为 与 之比，即于是得其中在零初始条件() 下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出 的输入量的拉氏变换之比。据此得出线性定常系统（或元件）传递函数的定义：输入量施加于系统之前，系统处于稳定输入量施加于系统之前，系统处于稳定 工作状态，即工作状态，即t 0 t 0 时，输出量及其各阶导数也均为时，输出量及其各阶导数也均为0 0大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型例2-1 R-L-C串联电路方法一 方法二 运算法传递函数：传递函数：传递函数的求法先列写系统的微分方程，然后根据传递函数的定义求取画出运算电路模型，将电路元件变为运算阻抗，利 用电路分析方法求取。大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型 适用于线性定常系统适用于线性定常系统 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全 部运动规律部运动规律 只取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形只取决于系统的结构和参数，与外施信号的大小和形 式无关式无关 一个传递函数只能表示一个输入与输出之间的关系。一个传递函数只能表示一个输入与输出之间的关系。 对于多输入对于多输入多输出的系统，用传递函数矩阵去表征多输出的系统，用传递函数矩阵去表征 系统的输入与输出间的关系。系统的输入与输出间的关系。2.3.2 传递函数的基本性质传递函数的拉氏反变换是脉冲响应传递函数的拉氏反变换是脉冲响应g(tg(t). ). 大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型转递函数矩阵描述输出与输入间的关系大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型如果已知系统的单位脉冲响应g(t)，就可以根据卷积 积分求解系统在任意输入r(t)作用下的输出响应，即 因为 求取系统时域响应的两种方法：1. 对r(t)拉式变化得到R(s),由 得到C(s)， 然后进行拉式反变换得到c(t).2. 由传递函数的拉式反变换得到g(t),由 得到c(t).大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型求取该电路在单位阶跃输入时的响应。 方法1方法2大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型N(s)=0 N(s)=0 系统的系统的特征方程特征方程，特征根特征根特征方程决定着系统的动态特性。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)N(s)中中s s的最高阶次等于系统的阶次。的最高阶次等于系统的阶次。！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为 零。零。K K 系统处于静态时，输出与输入的比值。系统处于静态时，输出与输入的比值。当当s=0s=0时时系统的系统的放大系数放大系数或或增益增益传递函数的特征方程大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型M(s)=b0(s-zM(s)=b0(s-z1 1)(s-z)(s-z2 2)()(s-zs-zmm)=0)=0的根的根 s=s=z zi i(i (i=1, 2, , m)=1, 2, , m)，称为传递函数的零点。称为传递函数的零点。N(s)=aN(s)=a0 0(s-p(s-p1 1)(s-p)(s-p2 2)()(s-ps-pn n)=0)=0的根的根 s=s=pj(jpj(j=1, 2, , n)=1, 2, , n)，称为传递函数的极点。称为传递函数的极点。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！系统传递函数的极点就是系统的特征根。 ！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。零点和极点大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型-2-31-1传递函数的零、极点分传递函数的零、极点分 布图：布图：将传递函数的零、将传递函数的零、 极点表示在复平面上的极点表示在复平面上的 图形。图形。零点用零点用“o”o”表示表示极点用极点用“”表示表示零、极点分布图大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型2.3.3 控制系统的典型环节及传递函数 环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理 装置或元件。 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同 组成。 同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的 物理量不同，可起到不同环节的作用。典型环节 (nominal (typical) element)大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型这种环节的特点是输入不失真、不延迟、成比例地复 现输入信号。它的运动方程为 对应的传递函数是 式中， 是环节的输出量； 是环节的输入量；K为常 数。1.比例环节Proportional element (link)k kR(S)R(S)C(S)C(S)方框图：大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型例1：齿轮传动大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型R R2 2R R1 1R RC(t)r(t)例2：运算放大器大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型该环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比， 即有对应的传递函数为 2积分环节Integral loop(link) 方框图：k/sk/sR(sR(s) )C(sC(s) )积分环节具有记忆功能和明显的滞后作用大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型例1：积分调节器C CU Uc c(t (t) )R RU Ur r(t (t) )i i1 1i i2 2 A A传递函数为：传递函数为：大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型惯性环节的特点时期输出量延缓地反映输入量的变化 规律。它的微分方程为对应的传递函数为式中，T是环节的时间常数。3.惯性环节Inertial loop(link) 大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型例1： RC惯性环节大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型理想的微分环节，其输出与输入信号对时间的微分成 正比，即有对应的传递函数为 4微分环节derivative loop(link) 大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型例1： RC微分网络大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型特点：这种环节的特点是输出量不仅与输入量本身有 关，而且与输入量的变化率有关 运动方程对应的传递函数是 一阶微分环节大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型这种环节的特点是，如输入为一阶跃信号，则其输出 成周期性振荡形式。式中，T为时间常数;K为放大系数;为阻尼比，其值 为01。由于该传递函数有一对位于s左边面的共轭 极点，因而这种环节在阶跃信号作用下，其输出必必 然会呈现出振荡性质。5振荡环节oscillatory loop(link) 大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型例1： R-L-C电路传递函数微分方程大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型例2：机械平移系统大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型在有滞后作用的系统中，其输出信号与输入信号的 形状完全相同，只是延迟一段时间后重现原函数。其 动态方程为它们之间的传递函数为6.滞后环节lag /delay loop(link)环节的时间常数大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型例1：水箱进水管的延滞大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型比例环节比例环节一阶微分环节一阶微分环节二阶微分环节二阶微分环节积分环节积分环节惯性环节惯性环节振荡环节振荡环节延迟环节延迟环节！串联！串联纯微分环节纯微分环节大连民族学院机电信息工程学院自动控制原理第二章 控制系统的数学模型建模 modeling 数学模型 mathematical model 微分方程式 differential equation 非线性的 nonlinear 线性化 linearization 输入量 input 输出量 output 传递函数 transfer function 拉氏变换 Laplace transformWORDS AND PHARASES