25.225.2用列举法求概率用列举法求概率(3)(3)树形图当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现 的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可 能的结果,通常采用列表法.一个因素所包含的可能情况另一 个因素 所包含 的可能 情况两个因素所组合的 所有可能情况,即n在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个 数m,最后代入公式计算.列表法中表格构造特点:当一次试 验中涉及3个 因素或更多 的因素时,怎 么办?当一次试验中涉及3个因素或更多的因素时,用列 表法就不方便了.为了不重不漏地列出所有可能的结果 ,通常采用“树形图”. 树形图的画法:一个试验第一个因数第二个第三个如一个试验 中涉及3个因数,第 一个因数中有2种 可能情况;第二个 因数中有3种可能 的情况;第三个因 数中有2种可能的 情况,AB123123a b a b a b a b a b a b则其树形图如图.n=232=12例1 同时抛掷三枚硬币,求下列事件的概率: (1) 三枚硬币全部正面朝上; (2) 两枚硬币正面朝上而一枚硬币反面朝上; (3) 至少有两枚硬币正面朝上.正 反 正 反 正 反 正 反正反正反正反抛掷硬币试验解: 由树形图可以看出,抛掷3枚 硬币的结果有8种,它们出现的 可能性相等. P(A)(1)满足三枚硬币全部正面朝 上(记为事件A)的结果只有1种 1 8= P(B)3 8=(2)满足两枚硬币正面朝上而一枚硬 币反面朝上(记为事件B)的结果有3种 (3)满足至少有两枚硬币正面朝 上(记为事件C)的结果有4种 P(C)4 8=1 2=第枚例2.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢? 他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时 三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的一 种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布 ”胜“石头”. 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少?石剪布石游戏开始甲乙丙石石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布剪布石剪布石剪布剪布解: 由树形图可以看出,游戏的结果 有27种,它们出现的可能性相等.由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪” “剪剪布” “布布石”三类.而满足条件(记为事件 A)的结果有9种 P(A)=1 3=9 273.某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电 脑和D，E两种型号的乙品牌电脑希望中学要从 甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑(1) 写出所有选购方案(利用树状图或列表方法 表示）；(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相 同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？解：(1) 树状图如下 有6种可能,分别为(A，D)，（A，E），（B，D ），（B，E），（C，D），（C，E）还可以用表格求也清楚的看到，有6种可能,分别为(A，D)， （A，E），（B，D），（B，E），（C，D） ，（C，E）(2) 因为选中A型号电脑有2种方案，即(A， D)（A，E），所以A型号电脑被选中的概率 是数学病院用下图所示的转盘进行“配紫色”游 戏，游戏者获胜的概率是多少？刘华的思考过程如下：刘华的思考过程如下：随机转动两个转盘，所有可能出现的结果如下：随机转动两个转盘，所有可能出现的结果如下： 开始灰蓝 （灰，蓝）绿 （灰，绿） 黄 （灰，黄）白蓝 （白，蓝）绿 （白，绿） 黄 （白，黄 ）红蓝 （红，蓝）绿 （红，绿）黄 （红，黄）你认为她的 想法对吗， 为什么？总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而能 够 配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故游戏 者获胜的概率为19 。用树状图或列表 法求概率时，各 种结果出现的可 能性务必相同。用树状图和列表的方法求概率 的前提:各种结果出现的可能 性务必相同.例如注意：(1) 列表法和树形图法的优点是什么? (2)什么时候使用“列表法”方便?什么时候使 用“树形图法”方便?利用树形图或表格可以清晰地表示出某 个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方 便地求出某些事件发生的概率.当试验包含两步时,列表法比较方便,当然 ,此时也可以用树形图法;当试验在三步或三步以上时,用树形图法 方便.1. 在6张卡片上分别写有16的整数,随机的抽取一张 后放回,再随机的抽取一张,那么,第一次取出的数字能 够整除第2次取出的数字的概率是多少?( (课本课本P137/P137/练习练习) )2.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左 转或向右转,如果这三种可能性大小相同,当有三辆汽车 经过这个十字路口时,求下列事件的概率: (1)三辆车全部继续直行; (2)两辆车向右转,一辆车向左转; (3)至少有两辆车向左转.答案:1 97 181.2. (1)(2)(3)1 277 27第 一 辆左右左右左直右第 二 辆第 三 辆直直左右直左右直左直右左直右左直右左直右 左直右左直右 左直右左直右共有27种行驶方向解：画树形图如下：3.小明是个小马虎,晚上睡觉时将 两双不同的袜子放在床头，早上 起床没看清随便穿了两只就去上 学，问小明正好穿的是相同的一 双袜子的概率是多少？解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，则B1A1B2A2开始A2 B1 B2A1 B1 B2A1 A1 B2A1 A2 B1所以穿相同一双袜子的概率为练习3. 用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数 字的概率.1 2 31组数开始百位个位十位123123123231 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出 现的可能性相等. 其中恰有2个数字相同的结果有18个. P(恰有两个数字相同)=18 272 3=4.把3个不同的球任意投入3个不同的盒子内(每盒装球 不限),计算: (1)无空盒的概率; (2)恰有一个空盒的概率.1 2 3盒1投球开始球球球123123123盒2盒31 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出 现的可能性相等. P(无空盒)=(1)无空盒的结果有6个6 272 9=(2)恰有一个空盒的结果有 18个 P(恰有一个空盒)=18 272 3=试一试：一个家庭有三个孩子，若一个 孩子是男孩还是女孩的可能性相同 (1)求这个家庭的3个孩子都是男孩的概率 ；(2)求这个家庭有2个男孩和1个女孩的 概率；(3)求这个家庭至少有一个男孩的 概率解:(1)这个家庭的3个孩子都是男孩的概率为 1/8; (2)这个家庭有2个男孩和1个女孩的概率 为3/8; (3)这个家庭至少有一个男孩的概率为7/8.3.下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标 上1，2，3，4，5，6这六个数字，指针停在每个扇形的 可能性相等。四位同学各自发表了下述见解：甲：如果 指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号 扇形；乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在6号 扇形；丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇 形的概率相等；丁：运气好的时候，只要在转动前默默 想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大。其中，你认为正确的见解有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个4.如图所示，每个转盘被分成3个面积相等的扇 形，小红和小芳利用它们做游戏：同时自由转 动两个转盘，如果两个转盘的指针所停区域的 颜色相同，则小红获胜；如果两个转盘的指针 所停区域的颜色不相同，则小芳获胜，此游戏 对小红和小芳两人公平吗？谁获胜的概率大？红红黄黄蓝蓝5.奥地利遗传学家孟德尔曾经将纯种的黄豌豆 和绿豆杂交，得到杂种第一代豌豆，再用杂种 第一代豌豆自交，产生杂交第二代豌豆，孟德 尔发现第一代豌豆全是黄的，第二代豌豆有黄 的，也有绿的，但黄色和绿色的比是一个常数 。孟德尔经过分析以后，可以用遗传学理论解 释这个现象，比如设纯种黄豌豆的基因是yy， 纯种绿豌豆的基因是gg，黄色基因是显性的， 接下来，你可以替孟德尔来解释吗？第二代豌 豆是绿豌豆的概率是多少呢？想一想，生活中 还有类似现象吗？你能设法解释这一现象吗？6.小明和小丽都想去看 电影,但只有一张电影 票.小明提议:利用这三 张牌,洗匀后任意抽一 张,放回,再洗匀抽一张 牌.连续抽的两张牌结 果为一张5一张4小明 去,抽到两张5的小丽去 ,两张4重新抽.小明的 办法对双方公平吗?