第七章习题 2. 设X1,X2,Xn为总体的一个样本, x1,x2,xn为一相应的样本值;求 下述各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量和估计值.(1)解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩1即可.解出将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,得到参数的矩估计量矩估计值其中c0为已知,1,为未知参数.2.(2)其中0,为未知参数.解 因为只有一个未知参数,故只计算总体一阶矩1即可.解出将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,得到参数的矩估计量矩估计值3.求1题中各未知参数的最大似然估计值和估计量 . (1)其中c0为已知,1,为未知参数.解 似然函数 xic ( i =1,2,n)时,取对数得令得到的最大似然估计值的最大似然估计量3.(2)其中0,为未知参数.解 似然函数 0xi1 ( i =1,2,n)时,取对数得令得到的最大似然估计值的最大似然估计量4.(2 )设X1,X2,Xn是来自参数为的泊松分布总体的一个样本,试 求的最大似然估计量及矩估计量. 解 泊松分布的分布律为总体一阶矩1=E(X)=, 将总体一阶矩1换成样本一阶矩A1=X ,得到参数的矩估计量似然函数取对数得令得到的最大似然估计值的最大似然估计量设x1,x2,xn为相应的样本值,8 (1)验证第六章2定理四中的统计量是两总体公共方差2的无偏估计量(SW2称为2的合并估计). 证 两正态总体N(1, 12 ) ,N(2, 22 )中, 12=22=2而不管总体X服从什么分布,都有E(S2)=D(X), 因此E(S12)= E(S22)= 2,(2)设总体X的数学期望为. X1,X2,Xn是来自X的样本. a1,a2,an是任意常数,验证是的无偏估计量.证 E(X1)= E(X2)= E(Xn)= E(X)=10.设X1,X2,X3,X4是来自均值为的指数分布总体的样本,其中未知.设有估计量T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5,T3=(X1+X2+X3+X4)/4 .(1)指出T1,T2,T3中哪几个是的无偏估计量; (2)在上述的无偏估计量中指出哪一个较为有效. 解 Xi ( i =1,2,3,4) 服从均值为的指数分布,故 E(Xi)=, D(Xi)=2 , (1 )因此T1,T3是的无偏估计量. (2) X1,X2,X3,X4相互独立由于D(T1)D(T3),所以T3比T1较为有效.12. 设从均值为,方差为20的总体中,分别抽取容量为n1,n2的两独 立样本.X1和X2分别是两样本的均值.试证,对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是的无偏估计,并确定常数a,b使D(Y)达到最小.解 由p168(2.19)得 E(X1)=E(X2)=, D(X1)=2/n1, D(X2)=2/n2 .故 E(Y)=aE(X1)+bE(X2)=(a+b)=, (a+b=1) 所以,对于任意常数,a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是的无偏估计. 由于两样本独立,故两样本均值X1和X2独立,所以由极值必要条件解得而由于故D(Y)必有唯一极小值即最小值.14.设某种清漆的9个样品,其干燥时间(以小时计)分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0设干燥时间总体服从正态分布N(,2),求的置信水平为0.95 的置信 区间. (1)若由以往经验知 =0.6, (2)若为未知.解 (1) 2已知,的置信水平为1- 的置信区间为n=9, 1-=0.95, =0.05, (z0.025)=1-0.025=0.975, z0.025=1.96, =0.6 ,x=6,的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.608, 6.392).(2) 2未知,的置信水平为1- 的置信区间为n=9, 1-=0.95, =0.05, t /2(n-1)=t 0.025(8)= 2.3060s=0.5745,的一个置信水平为0.95 的置信区间为(5.558, 6.442).16. 随机地取某种炮弹9发做试验,得炮口速度的样本标准差s=11(m/s). 设炮口速度服从正态分布.求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信 水平为0.95 的置信区间.解 未知,的置信水平为1-的置信区间为n=9, 1-=0.95, =0.05, 2 /2 (n-1)=2 0.025(8)=2 1-/2 (n-1)=2 0.975(8)=17.5352.18,又s=11,标准差的置信水平为0.95 的置信区间为(7.4, 21.1).18. 随机地从A批导线中抽取4根,又从B批导线中抽取5根,测得电 阻(欧)为 A批导线:0.143 0.142 0.143 0.137 B批导线:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 设测定数据分别来自分布N(1,2),N(2,2),且两样本相互独立.又1, 2,2均为未知.试求1 -2的置信水平为0.95 的置信区间.解 两正态总体相互独立, 方差相等,但方差未知, 其均值差1 -2的 一个置信水平为1- 的置信区间为n1=4,n2=5,1-=0.95, =0.05, t/2(n1+n2-2)=t0.025(7)= 2.3646x1=0.14125, x2=0.1392, s12=8.2510-6 , s22=5.210-6,1 -2的一个置信水平为0.95 的置信区间为(-0.002, 0.006).20. 设两位化验员A,B独立地对某种聚合物含氯量用相同的方法 各作10次测定,其测定值的样本方差依次为sA2=0.5419, sB2=0.6065, 设 A2, B2分别为A,B所测定的测定值总体的方差,设总体均为正态的, 设两样本独立,求方差比A2/B2的置信水平为0.95的置信区间.解 两正态总体均值未知,方差比A2/B2的一个置信水平为1- 的 置信区间为nA=10,nB=10,1-=0.95, =0.05,F /2(nA-1,nB-1)=F0.025(9,9)= 4.03sA2=0.5419,sB2=0.6065,A2/B2的一个置信水平为0.95的置信区间为(0.222, 3.601).22(2 )求18题中1 -2的置信水平为0.95 的单侧置信下限.解按照t分布的上 分位点的定义即1-=0.95, =0.05, t(n1+n2-2)=t0.05(7)=1.8946, 1 -2的置信水平为0.95 的单侧置信下限为18题中已得到 x1=0.14125, x2=0.1392, sw=2.5510-3, n1=4, n2=5,22(3) 求20题中方差比A2/B2的置信水平为0.95的单侧置信上限.解 由p169定理四得按照F分布的下分位点的定义 即20题中已得到 nA=10, nB=10, sA2=0.5419, sB2=0.6065,1-=0.95, =0.05, 1/F1-(nA-1,nB-1)=F(nB-1,nA-1)=F0.05(9,9)=3.18,A2/B2的置信水平为0.95的单侧置信上限为