第二章第二章 波动波动 2 .6 惠更斯原理与波的反射和折射2 .2 简谐波2 .1 行波2 .3 物体的弹性形变2 .4 波动方程与波速 2 .5 波的能量2 .7 波的叠加 驻波2 .11 多普勒效应2 .8-10 声波 地震波 水波*2 .13 孤子2 .12 行波的叠加和群速度1波动：振动的传播 意义： 波动形式贯穿物理学各领域机械波 电磁波 热辐射 光波探求光的本质：光的波粒二象性 敲开量子力学大门物质波与经典波有本质不同某些形式可借鉴现代应用：精密测量 信息技术2按波面形状平面波（plane wave ） 球面波（spherical wave ） 柱面波（ cylindrical wave ）按复杂程度简谐波（simple harmonic wave ） 复波（ compound wave ）按持续时间连续波（continued wave ）脉冲波（pulsating wave ）波的分类：3按波形是否传播行波（ travelling wave ） 驻波（stading wave ）按质元之间联系的力 是否是弹性力非弹性波（non-elastic wave ）弹性波（elastic wave ）42.1 2.1 行波行波 一一. .波的产生波的产生1. 机械波产生的条件波源 弹性介质真空2. 电磁波 波源 不需传播介质 二二. . 传播特征传播特征 演示：横波和纵波模型实例：绳上的波 水波水表面的波既非横波又非纵波。5t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T t = 0048162012 246简谐波:简谐振动的传播。各质元作同频率谐振 动。是相位相位(振动状态)的传播。行波特征行波特征2.下游各质点的振动依次比上游的启动晚！t时刻某质点的振动状态，经t 传到下游相距x 处（ t =x/u）换言之：波传播线上的任一质点 x ,在 t 时刻 的振动状态是上游x0处质点, 在t- t 时刻的振 动状态。1.行波是振动状态状态的的传播，而不是质点的流动。各质点只在自己的平衡位置附近作振动。7设 为传播的物理量，它沿 x 轴传播，则为沿+x 向传播的行波，u 为波速。xxx +xt +t 时刻xxft 时刻三三. . 波的描述波的描述波函数：8 具有沿+x向传播的性质。同理， 具有沿x向传播的性质。的函数形式称为波函数，称为行波的波函数。即 是波传播时，任意点媒质质元的运动函数。它也就9波形曲线：给定时刻， x 的关系曲线某时刻对横波：即为该时刻的集体照（波形图）对纵波：波形曲线不同于波形（疏密）图（思考：疏、密对应于曲线的什么部位？）不同时刻，波形曲线不同。10注意波形曲线 x 和振动曲线 t 既联系又区别。某时刻下一时刻某时刻波形曲线平移！行波：又是波形曲线的传播11波的几何描述 波线（wave line） 表示波的传播方向的射线（波射线） 波面（wave surface） 媒质振动相位相同的点组成的面（同相面） 波阵面（wave front） 某时刻波到达的各点所构成的面（波前）球面波平面波波 线 波面12四四. . 描述波的特征量描述波的特征量1) 波速(velocity of wave) u2) 波的周期(period)T ( 频率 )一完整振动从波场中某点通过的时间一完整振动从波场中某点通过的时间取决于媒质取决于波源（静止时）频率（frequency）角频率（angular frequency）133. 波长（wave length） ：波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离。它由波源和媒质共同决定。波长是波的“空间周期”。xu14如果波传播的扰动是简谐振动的话， 波称为简谐波（余弦波，单色波）这样的1. 一维平面简谐波的波函数在 x = 0 处质元振动方程为则应有：（因无吸收，故振幅 A不变） 波函数以机械波的横波为例，设平面波沿 x方向以速度 u 传播， 媒质均匀、无限大，无吸收。2.2 2.2 简谐波简谐波15上面波函数式中的为波的相位。波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”。所以简谐波的传播也是媒质振动相位的传播。 相速度（相速）设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，则应有于是得到 即简谐波的波速就是相速。 162. 一维简谐波函数的另一种常用的表示 0x沿波传播方向每增加 的距离，相位落后2。说明：17例1反射波在S处相位改变。如图，已知：y0 = Acos t ，波长为 ，求：反射波函数 y(x , t )解：全反射， A不变。全反射壁(l- x) lxy0 = Acost入反S 0波由0经壁反射到 x 传播了距离l + (l x) = 2l x，相位落后了2 (2lx)/ ，在壁处反射相位改变 ，“+”表示沿 x 方向传播取+、均可 183. 波函数的意义（1） x 一定，y t 给出 x 点的振动方程。yTt0振动曲线 x 一定xy0波动曲线t 一定（2） t 一定，y x 给出 t 时刻空间各点位移分布。19例2yx0已知：一个向右传播的波在 x = 0点的解：yt-TTA0A-A较0点相位 落后 /20 yA0点初相位为- /2向+y方向运动t = 0t 0画出该波在振动曲线如图所示。t = 0 时的波形曲线。要求：204. 一维波函数的另几种常见的表示式 波数 (wave number)空间因子振动因子 （复振幅）（Re）（Re）212.3 2.3 物体的弹性变形物体的弹性变形着重搞清线变、切变和体变的概念，以及与三种变化相应的材料的弹性模量。（自学书第2.3节）222.4 2.4 波动方程波动方程一. 一维波动方程（u 是波速）书P63-66有其以棒中纵波为例的动力学推导。将代入可以验证。实际上，不光是简谐波函数是波动方程的解，都是波动方程的解。 （可自己证明）任意一个以为变量的波函数23气体中液体中 （体积模量）二. 波速 u 与媒质性质的关系 比热比（公式不必记忆）体变ppppV+ V24固 体 中（切变模量）（杨氏模量） 书表2.2：（地震波传播)弹性绳上的横波l 绳的线密度F 绳的初始张力，横波F切变FSl l FF线变纵波切应力切应变应力线应变25一. 弹性波的能量 能量密度波在弹性媒质中传播时,各质元都在振动，随着波的行进,能量在传播。波的能量 = 振动动能 + 形变势能考虑细长棒上一段 小质元 x，如图： 动能密度以沿 x 轴传播的平面简谐纵波为例：sxx+x2.5 2.5 波的能量波的能量26小质元动能当有平面波传播时，x 处，纵向位移动能密度为:sxx+xyy+y m27 势能密度考虑细棒上小质元的弹性长变y，yF0yF= k yxx+xyy + yS若两端弹性拉力由 0F, 弹性势能 =弹性拉力作的功（变力的功）F= k y28因所以棒中有纵波时 能量密度势能密度为:29对沿 x 轴传播的平面简谐波 y(x,t)=Acos( t-kx)wk、wp 均随 t 周期性变化,两者同相同大 。为什么动能和势能之和不等于常数,也不相互转化 ？E=u2;由于w = wk+wp = 2A2sin2 (t-x/u) 30w = 2A2sin2 (t-x/u) 角频率为 2 ;随着波形的传播, 能量“一堆堆”地 向前传播, 其传播速度也是 波速u；其能量密度:ox(1/2)2A2w，y在y=0处附近，能量最集中（动能势能都最大）。31二. 平均能流密度(波的强度)单位时间内通过垂直于波的传播方向的 单位面积的平均能量,称为平均能流密度, 又称为 波的强度 I 。按周期平均的平均能量密度为w = wk+ wp = 2A2sin2( t- kx)因为单位:W/m2uSux平均能流密度(波的强度)即 32 I u 媒质的特性阻抗 Z = u I A2例.点波源，各向同性媒质中，球面简谐波的波函数： I 2超声波比声波的强度大。利用 和能量守恒，对无吸收媒质：平面波球面波柱面波r 场点到波源的距离可以证明：33媒质是要吸收波的能量的 (内摩擦,热传导, 分子碰撞等)。 波的能量衰减的规律为证明 :IoIu+dxx x AoAA+dA0x *补充：波的吸收 34 固 入射角 i 。全反射的一个重要应用是光导纤维（光纤），irn1(大)n2(小)i = iC r = 90n1(大)n2(小)当入射i 临界角 iC 时，将无折射光 全反射。iC 临界角它是现代光通信技术的重要器件。 43光 导 纤 维 44光缆电缆图中细光缆和粗电缆的通信容量相同我国电信的主干线可达300公里。也只有几十公里。而且损耗小。光纤通信容量大，在不加中继站的情况下，光缆传输距离而同轴电缆只几公里， 微波早已全部为光缆。452.72.7 波的叠加波的叠加 驻波驻波一.波的叠加原理 原理包含两方面内容：1）波的传播的独立性各振源在介质中独立地激起相应频率的波；每列波的传播特性不因其他波的存在而改变。 红、绿光束空间交叉相遇 听乐队演奏 空中无线电波很多“目无它波！ ”462）叠加在各波的相遇区相遇区，各点的振动是各列波 单独单独在此激起的振动的合成。线性叠加线性叠加波的叠加原理是干涉、衍射的基本依据。叠加原理由波动方程的线性所决定，度过大时， 媒质形变与弹力的关系不再呈线性，叠加原理也就不再成立了。当波强47*光波在媒质中传播时： 弱光情形，媒质可看作线性媒质。 弱光：光波电场强度的幅值原子内部电媒质非线性，子受到的电场强度（1010V/m）。波的叠加原理不成立。非线性光学现象：混频效应光致透明和光学双稳态倍频效应 强光情形 （激光E 的幅值可超过10 9 V/m），普通光源的光属弱光 (E的幅值103V/m)。48二 . 波的干涉现象波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减 弱的分布叫波的干涉。水波盘中水波的干涉49 相干条件： 频率相同； 振动方向相同； 有固定的相位差。 强度分布P点：两同方向同两同方向同 频率的频率的SHMSHM的合成的合成50波程差两波在P点的相位差：若初相差恒定，则相遇点的相位差恒定！合振幅波源的初相差51相长干涉相长干涉相消干涉相消干涉相遇区不同场点：波程差不同，相位差不同 强度不同52关于相干条件的讨论1）振动方向相同：同方向叠加时才是求代数和 特例：振动量方向垂直完全不相干完全不相干 此结论与两垂直振动的相位差无关！ 平行分量平行分量 垂直分量垂直分量部分相干若振动方向成一夹角532）相位差恒定设已满足另两个条件，有若在 02 内迅速随机改变迅速随机改变（例如普通光源原子发光） 不相干！不相干！改变（例如波源初相改变）改变，强度不稳定在测量时间内54三. 驻波就形成驻波，设两列行波分别沿 x 轴的正向和反向传播，能够传播的波叫行波1. 驻波的描述两列相干的行波沿相反方向传播而叠加时，它是一种常见的重要干涉现象。在 x = 0 处两波的初相均为 0：55yA合A2A1令如图相位中无 x其绝对值为振幅