3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征1/14故若故若设设, ,则则相互独立相互独立若若不独立不独立, ,如何刻画它们之间的关系如何刻画它们之间的关系相互独立相互独立, ,则则若若必不独立必不独立, ,它们之间必存在一定关系它们之间必存在一定关系则则 的方差均存在的方差均存在, ,记记若若的的协方差协方差称称为为3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征2/14相互独立相互独立若若对任意常数对任意常数有有3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征3/14相互独立相互独立 必不独立必不独立 之间必存在某种之间必存在某种“ “关系关系” ”这种这种“ “关系关系” ”到底是什么关系到底是什么关系又又称称的的相关系数相关系数 为为考虑考虑“ “单位化单位化” ”的的r.vr.v从直观上看从直观上看 之间的关系之间的关系 与与 之间的关系应无本质差异之间的关系应无本质差异, , 但它们的协方差相差了但它们的协方差相差了 倍倍用相关系数用相关系数 来度量这种关系来度量这种关系的大小是否反映了的大小是否反映了 这种这种“关系关系”的密切程度的密切程度3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征4/14记记均方误差均方误差之间什么关系之间什么关系相关系数相关系数刻画了刻画了 之间的线性关系之间的线性关系考虑考虑, ,即用即用r.vr.v近似地表示近似地表示为常数为常数令令解得解得即有即有3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征5/143 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征6/14其中其中为常数为常数3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征7/14相关相关较大时均方误差较大时均方误差较小较小之间的线性关系较密切之间的线性关系较密切之间几乎就是之间几乎就是线性关系线性关系特别当特别当时时之间的之间的线性关系较弱线性关系较弱反之反之, ,当当较小较小时时正相关正相关当当时时, ,称称 与与 负相关负相关当当时时, ,称称 与与 不相关不相关当当时时, ,称称 与与3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征8/143 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征9/14又因为又因为均为偶函数均为偶函数 设设服从圆域服从圆域上的均匀分布上的均匀分布, , 试讨论试讨论的独立性与相关性的独立性与相关性. . 先求得先求得的密度函数分别为的密度函数分别为不不独立独立故故不相关不相关3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征10/14 设设求求的相关系数的相关系数. .3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征11/14 设设求求的相关系数的相关系数. .3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征12/14相互相互独立独立互互不相关不相关指指 之间没有任之间没有任 何关系何关系, , 当然也没当然也没 有线性关系有线性关系指指 之间没有线之间没有线 性关系性关系, ,但可能有但可能有 其它关系其它关系相互相互独立独立互互不相关不相关设设则则3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征13/14设设的概率密度为：的概率密度为：问：问： 与与 是否相关？是否独立？是否相关？是否独立？3 3 协方差及相关系数协方差及相关系数第四章随机变量的数字特征14/14END1717、2020、2121、2323