梅涅劳斯定 理托勒密定 理引入塞瓦定理12应用1(可证西姆松定理）应用2345定理证明2答案678应用西姆松 定理西姆松定理应用910111213平面所冰一 年面扑哲胸捷本重要完吾 课外思考 乎砚外上淋 平面所测胸用本重要这悍平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支, 且因其证法多种多料: 除了几何证法外，还有三角函教法、解析法、复数法.向量法等许多证法, 这方面的问题受到各种竞赛的青上昧，现在每一届的联赛的第二坛都有一道几何题-平面几何的知识竞赛要求: 三角形的边角不等关系;面积及等积变换:三角形的心内心、外心、垂心、重心) 及其性质: 四个重要定理; 邢个重要的极值直到三角形三顶点距离之和最小的点一费马点.到三角形三项点距离的平方和最小的点一重心. 三角形内到三边焉离之积最大的点一一重心:简单的等周问题:在辕长一定的 n 边形的集合中，正 n 边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的 n 边形的集合中，正 mn 边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 ，本 了取 |是|平面几何的几个重要的定理梅逮劳斯定理及其道定理车一条直线截入ABG 的三条边 4开、五CCd或他们的延长钱)，所得变点分别为X、了、 了 ，4克则有 每号呈- 1结论反过来也成立. (西姐松定理及其逆定理)练习 1. 点己位于A4BC 的处接图上. 4、吾、Ci 是从点己向BC、C4 .48 引的垂线的垂足. 一六求证:点 4、吾、Ci 共线.证:易得 到 BpeosLPC (寺 cposz虑 人加 CpcoZR3 要CCLG 4PeasLP弛了 两-asd由上上面的三个式了于 相 乘且-AP4C= ABC AP本=ALRB LRCHHAPE4-90o可得 2 c5 4C_ ， 练习 2:已知直线 44，下8，CcCi 相交于点 0. 直线 48 和忒而的交点为C, .直线下C与矶Ci 的交点为汶 ,直线4C与4Ci 的交点为矶 .试证: 4、如、C 三点共线.证明:由岂、恕、C; 分别是直线 史CC和员Cr 4C和Cr-7和当4态的交点. 对所得的三角形和它们 C， 平面几何的几个重要的定理托勒密定理:圆内接四边形中，两条对角煞的乘积 (西对所包拭形的面积) 等于两组对边和对积之和(一组;所和包和矩形的面积与另一组对边所和包和矩形的面下和) - 即: 车四边形 Acp 内接于贺. 下则有.4如 -如玉拉村 .正人一 回避: 再六。三尽的托勒窜定理在四边形 AB6D 中.有: 48.CP+J4DP. BC4C.ED， 8 SU 7并且当且仅当四边形 ABCD内接于图时. 等号成立. D二 ES 。、，、， 广闪的托勒窜定理:在四边形 AB6D 中, 有:.4B.CP+J4PD-BCEdC ED .并且当且仅当四边形AB0D 内接于圆时. 等号成立.征明:四边形 AB6D 内取点E.钝Ed =ZCdD dB = 之dr攻酝呈百 。 再五 L-了4-4C-E且.CEBdC = ZEdD: 二4五C和上五力相机互C。 ED:6和34D.BC-4C-到二盏-CdD-BC= Ce- LE二 旭盏-Cr十叶-再妇六时亚-吾且季号当上且仅当 E 在 BD 二时咸立 即当且仅当四是 |可 入| 练习1. 如图 2,P 是正人ABC 外接圆的劣邓8c 上任一点(不与B、fC 重合) , 求证: PA=PB十PC ,一六练习 2. (第 21 届全苏数学竞赛) 已知正七边形 AlAA3A4AsA6A7 ， 了、 1 IT 1求王: 了 了机4 。 区 。4有 请生 A平面几何的几个重要的定理塞瓦定理:设己人 丸分别是A45C的BC、C4 .48 边上的点,则本 吾P CD .4尽寺王、 DJ、C妨一 半点的 和洒 星: 一 . -一.一一=1.4P、80、CR三线共点的充要条件是 EC 友厂=1太ER 届RE妖习二证明:三角形的三条中线变于一点-禾习2. 证明:三角形的三条有角平分线变于一点-练习 3. 证明:锐角三角形的三条高变于一点.10司 加 |