第3节 条件概率例1 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情 况.设事件A=至少有一次为正面H,事件B=两次 掷出同一面,求已知事件A发生的条件下事件B发 生的概率. 解 样本空间为=HH,HT,TH,TT,B=HH,TT, A=HH,HT,TH.若记已知事件A发生的条件下事件B 发生的概率为P(B|A),则有一、 条件概率与乘法公式1. 条件概率P(B|A)=1/3故有易知P(A)=3/4,P(AB)=1/4, P(B|A)=1/3=(1/4)/(3/4),解 而P(B|A)实质上是在事件A发生的条件下B发生 的概率（即甲车间生产的合格品率），由于甲 车间产品有40件，而其中合格品有35件 所以 对于一般的古典概型,设试验的基本事件 总数为n,A所包含的基本事件数为m(m0),AB所 包含的基本事件数为k,记已知事件A发生的条 件下事件B发生的概率为P(B|A),则有对于几何概型，如果在正方形内等可能投点 ，若已知B发生，则A发生的概率为定义3.1 设A,B是两个事件,且P(A)0,称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.条件概率是指在事件A发生的条件下，另 一事件B发生的概率，记用P（B|A）.条件概率的性质条件概率符合概率定义中的三个条件.即 (1)对于任一事件B,有P(B|A)0;(2)P(|A)=1;(3)可列可加性:设B1,B2, Bn是两两互不 相容的事件,则有因此,概率中的一些重要结果都适用于条件概率. 证明 （见教材）解 依题意 例4 考虑恰有两个小孩的家庭，若已知某一家有 男孩求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一 个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也 是男孩）的概率（假定生男生女为等可能）于是得 所求的两个条件概率为 例5 设100件产品中有5件次品,从中任取两次,每 次取一件,作不放回抽样.设A=第一次抽到合格 品,B=第二次抽到次品,求P(B|A).解法1 在A已发生的条件下,产品数变为99件,其中 次品数仍为5件,所以 P(B|A)=5/99解法2 从100件产品中连续抽取2件(抽后不放回), 其样本空间S的基本事件总数为10099,使AB发生 的基本事件数为955.P(AB)=(955)/(10099)于是P(A)=95/100 故有P(B|A)=5/99=0.05051解法3 因为样本空间的基本事件总数为 10099例5 设100件产品中有5件次品,从中任取两次,每 次取一件,作不放回抽样.设A=第一次抽到合格 品,B=第二次抽到次品,求P(B|A).其中使A发生的基本事件数为955+ 9594 在A发生的条件下B发生的基本事件数为 955所以 P(B|A)=5/99=0.050512. 乘法公式 由条件概率定义可得下面定理乘法定理 若P(A)0,则有P(AB)=P(B|A)P(A)上式称为乘法公式 .乘法公式可以推广到任意有限个事件的 情况.设A1,A2,An为试验E中的n个事件,且P(A1A2An-1)0,则有P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)例6 一个盒子中有6只白球，4只黑球，从中不放 回地每次任取1只，连取3次，求第三次才取得白 球的概率.易知 解 设事件Ai表示第i次取得白球(i=1、2、3), A表 示第三次才取得白球. 则A等于第一次取得黑球， 第二次取得黑球，第三次取得白球, 即例7 袋中装有两个红球和三个白球,从中依次取 出两个,求两个都是红球的概率.解 设A1=第一次取得红球,A2=第二次取得红球.(1) 若用“不放回抽样”, 则 P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)(1/4)=0.1(2) 若用“有放回抽样”, 则 P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=(2/5)(2/5)=0.16例8 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时 打破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第二次 落下时打破的概率为7/10;若前二次落下未打破, 第三次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下 三次而未打破的概率.解法1 设Ai=透镜第i次落下未打破 ,(i=1,2,3), B=透镜落下三次而未打破,则B=A1A2A3, 故有P(B)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) =(1-1/2)(1-7/10)(1-9/10)=3/200=0.015例8 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打 破的概率为1/2;若第一次落下未打破,第二次落下 时打破的概率为7/10;若前二次落下未打破,第三 次落下时打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而 未打破的概率. 解法2 依题意有 =1/2+7/10(1-1/2)+9/10 (1-1/2)(1-7/10) =197/200 因此例9 一个盒子中有n(n1)只晶体管,其中有一只 次品,随机地取一只测试,直到找到次品为止.求在 第k(1kn)次测试出次品的概率.解 设Ai=第i次测试的是正品,Bk=第k次测试到次 品,则例10 有外形相同的球分装三个盒子，每 盒10个。其中，第一个盒子中有7个球标 有字母A，3个球标有字母B；第二个盒 子中有红球和白球各5个；第三个盒子中 有红球8个，白球2个。试验按如下规则 进行：先在第一个盒子中任取一球，若 取得标有字母A的球，则在第二个盒子中 任取一球；若第一次取得标有字母B的球 ，则在第三个盒子中任取一球。如果第 二次取出的球是红球，则称试验成功。 求试验成功的概率。解 令A=从第一个盒子中取得标有字母A的球，R=第二次取出的球是红球， 则易知：于是,试验成功的概率为计算过程如下图的概率树:红P(R|A)=0.5第二次A P(A)=0.7 白P(W|A)=0.5 第一次 红P(R|B)=0.8B P(B)=0.3 第二次白P(W|B)=0.2二、全概率公式和贝叶斯公式定义 设为试验E的样本空间,B1,B2,Bn为E的一组事件.若 ( 1)BiBj=,ij,i,j=1,2,n; ( 2)B1B2Bn= 则称B1,B2,Bn为样本空间的一个划分.1. 1. 全概率公式全概率公式若B1,B2,Bn是样本空间的一个划分,那么, 对于每次试验, 事件B1,B2,Bn中必有一个且仅有一个发生.定理 设为试验E的样本空间,B1,B2,Bn为样本 空间的一个划分, A为E的一个事件, 且P(Bi)0 (i=1,2,n),则 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn) 上式称为全概率公式 . 证明 因为A=A=A(B1B2Bn)=AB1 AB2 ABn 由假设BiBj=,ij,知(ABi)(ABj)=,ij,且P(Bi)0(i=1,2,n),得到 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn)证毕解 设事件A表示取出的2个球都是白球，事件Bi表 示所选袋子中装球的情况属于第i种（i=1、2、3）易知于是按全概率公式所求的概率解 设事件Bi是一批产品中有i个次品（i=0，1，2， 3，4），设事件A是这批产品通过检查，即抽样检 查的10个产品 都是合格品则有 所求的概率 例13 有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个 正品,一个次品;在第二个箱中有三个正品,一个次 品;在第三个箱中有两个正品,两个次品.现从任何 一个箱子中,任取一件产品,求取得的是正品的概率. 解 设Bi=从第i个箱子中取到产品(i=1,2,3), A=取得正品.由题意知=B1+B2+B3且B1,B2,B3是两两互不相容的事件.P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3,由全概率公式得P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.64P(A|B1)=2/3,P(A|B2)=3/4,P(A|B3)=2/4=1/22. 贝叶斯公式在全概率公式中我们知道,引起事件A发生的原 因有B1,B2,Bn等多种. 在实际问题中,常遇到已 知事件A已经发生,要求出事件A发生是由某种原因 Bk引起的概率P(Bk|A).例14 有外形相同的球分装三个盒子，每 盒10个。其中，第一个盒子中有7个球标 有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子 中有红球和白球各5个；第三个盒子中有 红球8，白球2个。试验按如下规则进行： 先在第一个盒子中任取一球，若取得标有 字母A的球，则在第二个盒子中任取一球 ；若第一次取得标有字母B的球，则在第 三个盒子中任取一球。如果第二次取出的 球是红球，则称试验成功。若试验成功， 求第二次取出的红球是从第二个盒子取得 的概率。解 P(A|R)=P(AR)/P(R)=P(A)P(R|A)/P(R) =0.70.5/0.59 =35/59假若我们事先没有求出P(R),则一般有:P(A|R)=P(AR)/P(R)=P(A)P(R|A)/P(R) =P(A)P(R|A)/P(A) P(R|A)+P(B) P(R|B)证明 由条件概率的定义及全概率公式有上式称为贝叶斯(逆概率)公式.定理 例15 无线电通讯中,发报台分别以概率0.6和0.4 发出信号“.”和“-”.由于干扰,发出信号“.”时,收 报台以概率0.98收到信号“.”,发出信号“-”时,收 报台以概率0.99收到信号“-”.求在收报台收到信 号“-”的条件下,发报台发出信号“.”的概率. 解 设B1=发出信号“.”,B2=发出信号“-”,A1=收 到信号“.”,A2=收到信号“-”.由于B1B2=,B1B2= ,A2=A2B1 A2B2,于是解 由贝叶斯公式得P(C|A) =P(AC)/P(A) =0.0050.95/0.0050.95+(1-0.005(1-0.95)=0.087