九年级数学（上册）第一章 证明(二)等边三角形的判定九年级数学（上册）第一章 证明(二)八仙过海w一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？开启 智慧ACB600ACB600ACB600w你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？w一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？命题的证明我能行1 1w定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.证明:ABAC, B600(已知)CB600.(等边对等角）A600(三角形内角和定理)AB（等式性质） ACCB（等角对等边）ABBCAC（等量代换） ABC是等边三角形(等边三角形定义)已知:如图,在ABC中AB=AC,B=600. 求证:ABC是等边三角形.ACB600几何的三种语言回顾反思1 1w定理: w有一个角是600的等腰三角形是等边三角形在ABC中, ABAC,B600(已知). ABC是等边三角形 (有一个角是600的等腰三角形是等边三角形)ACB600命题的证明我能行2 2w定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:AB (已知), BCAC(等角对等边)又BC(已知) ABAC(等角对等边) ABBCAC(等量代换) ABC是等边三角形(等边三角形定义)已知:如图,在ABC中,ABC. 求证:ABC是等边三角形.ACB几何的三种语言回顾反思2 2w定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.在ABC中, ABC(已知) ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)这又是一个判定等边三角形的根据之一.ACB600600600命题的猜想我能行3 3w1 操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？300300300300w能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.w由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？300300能证明你的结论吗？结论:在直角三角形中, 300角所对的 直角边等于斜边的一半.命题的证明我能行4 4w定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知:如图,在ABC中,ACB=900,A=300. 求证:BC AB.300ABCD在ABC中,ACB=900,A300(已知)B600(直角三角形两锐角互余) 又 ACB900,(已知)ACD900(平角定义)在ABC与ADC中 BCDC（已作图） ACBACD（已证）ACAC（公共边）ABCADC（SAS）ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形)BC BD AB(等量代换).证明:如图, 延长BC至D,使CDBC,连接AD.300ABCD几何的三种语言回顾反思3 3这又是一个判定两条线段成倍分关系的 根据之一.定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于 300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在ABC中, ACB900,A300. BCAB/2(在直角三角形中, 300角所对的直角边等于斜边的一半)ABC300学无止境 例题欣赏1 1这里有一个化归的数学思想即把 问题转化为一个纯数学问题.驶向胜利 的彼岸分析:如图,在ABC中，ABAC2a,BACB150,CDAB于D.求:CD=?ACBD150150例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.求:腰上的高.解:BACB150(已知),DACBACB 150150300 (三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角 的和).CDAC/22a/2=a(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边 等于斜边的一半).ACBD150150含300角的直角三角形隋堂练习2 2驶向胜利 的彼岸1.已知:如图, 在ABC中,ACB900,A=300,CDAB于D. 求证:BD=AB/4.分析:因为A=300,所以 BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只 要能使BD=BC/2即可,此时若 BCD=300就可以了.而由“ 母子三角形”即可求得.ACBD三角形,认识我吗隋堂练习3 32.已知:如图,点P,Q在BC上,且 BP=AP=AQ=QC=a,PAQ=600,AHBC于H. (1)求证:AB=AC; (2)试在图中标出各个角的度数; (3)求出图中各线段的长度,并说明理由.驶向胜利 的彼岸ABCPQH反过来怎么样 逆向思维w命题:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗? w如果是,请你证明它.心动 不如行动300ABC已知:如图ABCACB=900,BC=AB/2. 求证:A=300.反过来怎么样 逆向思维在ABD中,ACB=900(已知),AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等). 又BC=AB/2(已知),BC=BD/2(作图),AB=BD(等量代换).AB=BD=AD(等量代换）.ABD是等边三角形(等边三角形意义).B=600(等边三角形每个内角都是60).A=300(直角三角形两锐角互余).心动 不如行动300ABCD证明:如图, 延长BC至D,使CD=BC,连接AD.几何的三种语言回顾反思4 4这是一个通过线段之间的关系来判定 一个角的具体度数(300)的根据之一.w定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.在ABC中 ACB=900,BC=AB/2(已知), A=300(在直角三角形中,如果一 条直角边等于斜边的一半,那么它所 对的锐角等于300).ABC300成功者的摇篮试一试P142 2DACBEFDACBEF(1)(2)GA11.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分 别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使 得A落在EF上(如图(2)中A1),折痕交AE于点G,那么 ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?成功者的摇篮试一试P142 2DACBEF(2)GA1答:ADG等于150. 证明:DF=DC/2(中点定义)A1D=AD=CD(正方形各边都相等)DF=A1D/2(等量代换) DA1F=300 (在直角三角形中, 如 果一条直角边等于斜边的一半,那么 它所对的锐角等于300). 又ADEF(中点定义) A1DA=DA1F=300 (两直线平行,内错角相等). ADG=A1DA/2=150(角平分线定义).300回味无穷n等边三角形的判定:n定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.n定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.n特殊的直角三角形的性质:n定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.n定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜边 的一半,那么它所对的锐角等于300.n老师提醒:n反证法还认识你吗?小结 拓展知识的升华独立 作业P9习题1.3 1,2,3题.祝你成功！习题1.3 独立作业1 1w1.已知:如图,ABC是等边三角形,DEBC, 分别交AB,AC于点D,E.求证: ADE是等边三 角形. 证明1: ABC等边三角形(已知), AB=C600(已知), 又 DEBC(已知), 1=B=600,2=C=600 (两直线平行,同位角相等). A =1=2(等量代换). ADE是等边三角形 (三个角相等的三角形是等边三角形). BECDAF12习题1.3 独立作业2 2w2.房梁的一部分如图所示,其中 BCAC,A=300,AB=7.4m,点D是AB的中 点,DEAC,垂足为E. w求:BC,DE的长. 解:BCAC,A=300,AB=7.4m(已知), BC=AB/2=7.423.7m(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于 斜边的一半), 又 AD=AB/2=7.423.7(中点定义), DE=AD/2=3.721.85(在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 答:BC=3.7m,DE=1.85m. BECDA300习题1.3 独立作业2 2w3.已知:如图,ABC是等边三角形,过 它的三个顶点分别作对边的平行线,得 到一个新的DEF,DEF是等边三角形 吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请 证明你的结论. 答:(1)DEF是等边三角形;(2)ABE,ACF,BCD也是等边三角形. 证明(1):ABC是等边三角形(已知), 又EFBC,DEAC(已知), E600(三角形内角和定理). 同理,D=600,F600. BECDAF12=3600(等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600 ).421342600,51600(两直线平行,内错角相等). 5 DE=F600(等量代换). DEF是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形). 结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相 应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵 循的原则.下课了!