第一章第二节 事 件 的 概 率l频率一、频率与频率稳定性则称m为事件A在n次试验中 发生的频数或频次,称m与n的比值m/n 为事件A在n次试验中发生的频率,记 为fn(A)。设A是一个事件在相同的条件下进 行n次试验,在这n次试验中,事件A发生 了m次。当试验次数充分大时，事件的频率 总在一个定值附近摆动，而且，试验次 数越多，一般说来摆动的幅度越小 。这 一性质称频率的稳定性。请看下面试验掷硬币试验掷骰子试验频率在一定程度上反映了事件在一次 试验中发生的可能性大小。仅管每进行一 连串（n次）试验，所得到的频率可能各 不相同，但只要 n足当大，频率就会非常 接近一个固定值概率。因此，概率是可以通过频率来“度量” 的。频率是概率的近似。考虑在相同条件下进行的S 轮试验第二轮 试验试验次数n2事件A出现 m2次第S轮 试验试验次数ns事件A出现 ms 次试验次数n1事件A出现 m1次第一轮 试验事件A在各轮试验中的频率形成一个数列下面我们来说明频率稳定性的含义指的是：各轮试验次数n1, n2, , ns 充分大时，在各轮试验中事件A 出现的频率之间、或者它们与某固定的数 值相差甚微 。频率稳定在概率 p 附近频率稳定性这种稳定性为用统计方法求概率开拓 了道路。在实际中，当概率不易求出时，人们常 用试验次数很大时事件的频率作为概率的估 计值，并称此概率为统计概率。这种确定概率的方法为频率法。例如，若我们希望知道某射手中靶的 概率，应对这个射手在相同条件下大量 的射击情况进行观察、并记录。假设他射击n次, 中靶m次, 当n很大时 ,可用频率m/n作为其 中靶概率之估计。1 0 fn( A) 1； 2 fn()=1, fn()=0； 3. 若事件A1,A2,Ak两两互斥,则:l性质二、 事件概率I. 概率的定义下面介绍用公理给出的概率定义1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率 的公理化定义。概率的公理化定义公理2 P()=1 ; (2) 公理3 若事件A1, A2 , 两两互不相容，则有(3) 这里事件个数可以是有限或无限的 。设E是随机试验， 是它的样本空间， 对于 中的每一个事件A，赋予一个实数， 记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函 数 P( ) 满足下述三条公理:公理1 (1)公理1说明，任一事件的概率介于0与1间；公理2说明，必然事件的概率等于1；公理3说明，对于任何两两互不相容(互斥) 的事件序列，这些序列事件并的概率等于 各事件概率之和。II、概率的性质1.P()=0，即不可能事件的概率为零； 2.若事件A1,A,，An两两互斥,则有:P(A1A2An)=P(A1)+P(An), 即互斥事件之并的概率等于它们各自 概率之和(有限可加性);4.对两个事件A和B,若AB, 则有:P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)P(A)。3. 对任一事件A,均有证明：性质5 对任意两个事件A、B，有因得，再由及性质3，得(8)式成立。J 说明n个事件并的多除少补公式特别地，n=3时小结本节首先介绍了频率的概念，指出在 试验次数充分大条件下，频率接近于概 率结论；然后给出了概率的公理化定义 及概率的主要性质。