(十一)第十一章 概率（120分钟 150分）一、选择题选择题 (本大题题共12小题题，每小题题5分，共60分.在每小题给题给 出的四个选项选项 中，只有一项项是符合题题目要求的)1.一个家庭有2个小孩,则则所有等可能的基本事件有（ ）（A）（男,女）（男,男）（女,女）（B）（男,女）（女,男）（C）（男,男）（男,女）（女,男）（女,女）（D）（男,男）（女,女）【解析】选C.从等可能的角度看,一男一女的概率与两个都是男的概率是不同的,因为一男一女包括先男后女，与先女后男两种等可能的情形.2.（2011威海模拟拟）先后抛掷掷两枚骰子，每次各1枚，则则事件“出现现的点数之和大于3”发发生的概率为为（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】选A.先后抛掷两枚骰子，得到的基本事件总数为36个，事件“出现的点数之和小于或等于3”包含的基本事件有（1,1),(1,2),(2,1)共3个，故事件“出现的点数之和大于3”发生的概率为3.已知直线线y=x+b,b-2,3,则则直线线在y轴轴上的截距大于1的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】选B.试验的全部结果构成的区域是区间-2，3，所求事件构成的区域为（1，3，故所求概率为4.对总对总 数为为50的一批零件抽取一个容量为为10的样样本,则则每个零件被抽取的概率为为（ ）（A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.5【解析】选B.每个零件被抽取的概率为5.如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为 的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）（A） （B）（C） （D）与a的取值有关【解析】选A.几何概型，故选A.6.(2011芜湖模拟）设集合P=b,1,Q=c,1,2,P Q,若b,c2,3,4,5,6,7,8,9，则b=c的概率是( )【解析】选C.因为P Q,所以b=2或b=c,且c2,又b,c2,3,4,5,6,7,8,9,所以b的取值有8种情形，c的取值有7种情形；当b=2时，c的取值有7种情形；当b=c且c2时，有7种情形，所以共有14个等可能基本事件，所求概率是故选C.7.先后抛掷掷两枚均匀的正方体骰子（它们们的六个面分别标别标 有点数1,2,3,4,5,6）,骰子朝上的点数分别为别为 x,y,则则log2xy=1的概率为为（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】选C.先后抛掷两枚骰子共有66=36种不同的情况.满足条件log2xy=1,即y=2x有（1,2）,（2,4）,（3,6）三种,故所求概率为8.长方形ABCD中,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为（ ）（A） （B）（C） （D）【解析】选B.以O为圆心,以1为半径在长方形ABCD内作圆,当取到的点在图中阴影部分时,点到O的距离大于1,又故所求概率为9.将一枚骰子抛掷掷两次,若先后出现现的点数分别为别为 b、c,则则方程x2+bx+c=0有实实根的概率为为（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】选A.一枚骰子掷两次,其基本事件总数为36,方程有实根的充要条件为b24c.故使方程有实根的基本事件个数为1+2+4+6+6=19，于是方程有实根的概率为10.在区域 内任取一点P,则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【解析】选D.不等式组表示的平面区域如图所示:则点P落在图中阴影部分时,点P落在单位圆x2+y2=1内,故所求概率为11.集合A=(x,y)| ，xN,集合B=(x,y)|y-x+5，xN.先后掷掷两颗颗骰子，设掷设掷 第一颗颗骰子得点数记记作a,掷掷第二颗颗骰子得点数记记作b,则则(a,b)AB的概率等于（ ）(A) (B) (C) (D)【解题提示】解答本题的关键找出AB中整数点的个数.可先作出集合A表示的平面区域.【解析】选B.根据二元一次不等式组表示的平面区域，可知AB对应如图所示的阴影部分的区域中的整数点.其中整数点有（0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),共14个.现先后抛掷2颗骰子，所得点数分别有6种，共会出现36种结果，其中落入阴影区域内的有8种，即(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2).所以满足(a,b)AB的概率为 ，故选B.12.设设集合A=1，2，B=1，2，3，分别别从集合A和集合B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a,b），记记“点P（a,b）落在直线线x+y=n上”为为事件Cn（2n5,nN），若事件Cn的概率最大，则则n的所有可能值为值为 （ ）(A)3 (B)4 (C)2和5 (D)3和4【解题提示】分别求出事件C2，C3，C4，C5的概率，比较大小即可.【解析】选D.点P（a,b）的个数共有23=6个，落在直线x+y=2上的概率P（C2）= ；落在直线x+y=3上的概率P（C3）= ；落在直线x+y=4上的概率P（C4）= ；落在直线x+y=5上的概率P（C5）= .故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)13.有3个两两互斥的事件A、B、C,已知事件A+B+C是必然事件,事件A的概率是事件B的概率的2倍,事件C的概率比事件B的概率大0.2,则事件A的概率为_.【解析】由P（A）+P（B）+P（C）=1,P（A）=2P（B）,P（C）=P（B）+0.2得P（B）=0.2,P（A）=0.4.答案:0.414.(2011玉林模拟拟）先后两次抛掷掷一枚骰子，所得点数中，至少有一个奇数的概率为为_.【解析】先后两次抛掷一枚骰子，所得点数共有66=36种不同的结果，其中两个点数都是偶数的基本事件数为9，则两个点数都是偶数的概率为 ,从而至少有一个奇数的概率为答案:15.如图,平面上一长12 cm,宽10 cm的矩形ABCD内有一半径为1 cm的圆O（圆心O在矩形对角线交点处）,把一枚半径1 cm的硬币任意掷在矩形内,（硬币完全落在矩形内）,则硬币不与圆O相碰的概率为_.【解析】据题意可知硬币不与圆O相碰时基本事件空间为长为10 cm,宽为8 cm的矩形面积来度量,而满足条件的事件可用此矩形内除去以O为圆心以2为半径的圆的几何图形的面积来度量,故答案:16.（2011晋中模拟拟）把一颗颗骰子投掷掷两次，第一次出现现的点数记为记为 m,第二次出现现的点数记为记为 n,方程组组 只有一组组解的概率是_.【解题提示】首先找出使方程组只有一组解的条件,然后找出满足条件的基本事件数.【解析】由题意，当即3m2n时方程组只有一解.基本事件总数为36，满足3m=2n的基本事件有(2,3),(4,6)共两个,故满足3m2n的基本事件数为34个.故所求概率为答案:三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分）某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如表所示：（1）将各组的频率填入表中；（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1 500小时的频率；（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管15支，若将上述频率作为概率，估计经过1 500小时约需换几支灯管.【解析】（1）（2）由（1）可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6，所以，灯管使用寿命不足1 500小时的频率是0.6.（3）由（2）知，灯管使用寿命不足1 500小时的概率为0.6.150.6=9，故经过1 500小时约需换9支灯管.18.（12分）设点（p,q）在p3,q3中按均匀分布出现,试求方程x2+2px-q2+1=0的两根都是实数的概率. 【解析】由p3,q3可知,（p,q）的点集组成了边长为6的正方形区域.由方程x2+2px-q2+1=0的两根都是实数得=（2p）2-4（-q2+1）0,即p2+q21,故当点（p,q）落在以原点为圆心,1为半径的单位圆上或其外部时,方程两根都是实数.因此,所求概率为19.(12分）（2011浏阳模拟）袋子中有质地、大小完全相同的4个球，编号分别为1,2,3,4.甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，若两个编号的和为奇数算甲赢，否则算乙赢.记基本事件为（x,y),其中x,y分别为甲、乙摸到的球的编号.（1）列举出所有的基本事件，并求甲赢且编号的和为5的事件发生的概率；（2）比较甲胜的概率与乙胜的概率，并说明这种游戏规则是否公平.（无详细解答过程，不给分）（3）如果请你猜这两球的号码之和，猜中有奖.猜什么数获奖的可能性大？说明理由.【解析】（1）共有16个等可能事件列举如下（1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).设甲胜且两数字之和为5为事件A，则事件A包含（1,4),(2,3),(3,2),(4,1)共4个基本事件.（2）这种游戏公平.设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜包含（1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3)共8个基本事件，甲胜的概率从而乙胜的概率P(C)=1-P(B)= ,P(B)=P(C)，故这种游戏公平.（3）记“所摸出的两球号码之和为i”为事件Ai(i=2,3,4,5,6,7,8).由（1）中可知事件A2的基本结果为1种，事件A3的基本结果为2种，事件A4的基本结果为3种，事件A5的基本结果为4种，事件A6的基本结果为3种，事件A7的基本结果为2种，事件A8的基本结果为1种，所以摸出的两球号码之和为5的概率最大.答：猜5获奖的可能性大.【方法技巧】较复杂事件的概率的求法（1）求某些较复杂的事件的概率，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率和；二是先求此事件的对立事件的概率.若用直接法求某一事件的概率较为复杂时，第二种方法常可使概率的计算得到简化.（2）如果采用第一种方法，一定要将事件分拆成若干互斥的事件，不能重复和遗漏，如果采用第二种方法，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误.（3）一般地此类问题均可用随机事件的概率求法来探求，但利用互斥事件和对立事件来处理往往可使问题得以简化.（4）通过对较复杂事件概率的探求，充分体会多种方法解决问题的思维方式，从而提高综合应用知识解决问题的能力.20.（12分）（2011烟台模拟拟）对对某人某二项项指标进标进 行考核，每项项指标满标满 分100分，设设此人每项项得分在0,100上是等可能出现现的.单项单项 80分以上，且总总分170分以上才合格，求他合格的概率.【解析】设某人两项的分数分别为x分、y分，则0x100,0y100,某人合格的条件是：则8017