第二章 随机变量及其分布v2.1 随机变量v2.2 离散型随机变量及其分布律v2.3 随机变量的分布函数v2.4 连续 型随机变量及其概率密度v2.5 随机变量函数的分布2.1 随机变量v定义2.1.1 设E是随机试验，它的样本空间为=。如果 对任意样本点，都有惟一确定的实数X()与之对应， 则称X=X ()为定义在样本空间上的随机变量。v随机变量常用大写字母X, Y, Z等表示，它们的取值常用小写 字母x, y, z等表示。v常用的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种 。v随机变量具有如下两个特点： (1)取值的随机性，即事先不能确定X取哪个值； (2)取值的统计规 律性，即完全可以确定X取某个值或X在某 一个区间内取值的概率。2.2 离散型随机变量及其分布律v一、分布律v二、几个常见的离散型分布一、分布律v定义2.2.1 设离散型随机变量X的可能取值为x1, x2, , xn, ，取这些值的概率分别为p1, p2, , pn, ，则 P(X=xk)=pk，k=1, 2, 称为离散型随机变量X的概率分布或分布律或分布 列。v有时也用如下表格来表示X的分布律：Xx1x2xn Pp1p2pnv分布律具有下述两个性质： (1)pk0，k=1, 2, ；(2) 。v例2.2.1 掷一颗均匀的骰子出现的点数X为一个离 散型随机变量，其分布律为v例2.2.2 设某产品分为四种等级：一、二、三等品 及废品，这四种等级的产品所占的比例分别为 50%, 25%, 15%, 10%，现任取一件产品，并令则离散型随机变量X的分布律为X0123P0.10.500.250.15二、几个常见的离散型分布v1.二项分布v2.泊松分布v3.超几何分布v4.几何分布1.二项分布v所谓贝努里(Bernoulli)试验，是指只有两个可能结 果的随机试验。v我们把其中的一个感兴趣的结果称为“成功”(或称 为事件A发生)，另一个则称为“失败”(或称为事件A 不发生)。v如果将一贝努里试验在相同的条件下重复n次，并 且各次的试验相互独立(即试验结 果互不影响)，则 这样的系列试验称为n重贝努里试验。v在每一特定的n重贝努里试验中，设每次试验成功 的概率为p(p值不变)，失败的概率为q=1p，则成 功次数X的分布律为：称X服从参数为n, p的二项分布，记作XB(n, p)。图2.2.1 二项分布B(n, p)的分布律v例2.2.4 某种商品的不合格率为0.3，一顾客从商店 买了6件这种商品，试求下列事件的概率： (1)恰有4件商品不合格； (2)不合格件数不超过一半； (3)至少有一件不合格品。v例2.2.5 某营业员 根据以往的经验发现 ，接待一位 顾客能做成一笔生意的概率是0.25。如果某天他接 待了10位顾客，试求以下几种情况的概率： (1)做成的生意至多三笔； (2)做成的生意至少三笔； (3)恰好做成两笔生意。vn=1时的二项分布B(1, p)称为二点分布，它只含一 个参数p。v在一次贝努里试验的实际应 用中，我们常常将其 中的一个结果对应于“1”，而将另一个结果对应于 “0”，即令X的概率分布即为二点分布。2.泊松分布v若随机变量X具有如下分布律：其中0是个常数，则称X服从参数为的泊松分布 ，记作XP()。v容易验证： (1)P(X=k)0，k=0, 1, 2, ；(2) 。v在=np恒定的情况下，当n趋向无穷，同时p趋向于 0时，二项分布趋向于泊松分布。通常当n20, p0.05时，有如下的近似公式：v近似的效果可以从表2.2.1中有所认识。图2.2.2 泊松分布P()的分布律k二项分布 泊松分布n=10p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01=1(=np)00.3490.3580.3630.3660.36810.3850.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015表2.2.1 二项分布的泊松分布近似v例2.2.6 已知某厂有5%的产品有缺陷。随机抽选50件，试 分别求出缺陷产品数属于以下各种情况的概率： (1)至多2件； (2)至少1件； (3)恰好3件； (4)在1件和5件之间(包括1件和5件)。解 设产品缺陷数为X，则XB(50, 0.05)。由于n=50很大， p=0.05很小，故可以认为X近似服从参数为=500.05=2.5的 泊松分布。查(累积)泊松分布表得如下结果： (1)P(X2)=0.5438； (2)P(X1)=1P(X=0)=10.0821=0.9179； (3)P(X=3)=P(X3)P(X2)=0.75760.5438=0.2138； (4)P(1X5)=P(X5)P(X=0)=0.95800.0821=0.8759。v例2.2.7 某商店每月销售某种商品的件数服从参数 为4.6的泊松分布，试问在月初应购进 多少此种商 品，才能保证不脱销的概率至少为0.99。解 设该商店当月的顾客需求数为X件，月初的进 货为a件，则当Xa时就不会脱销，按题意要求 P(Xa)0.99 查泊松分布表得： P(X9)=0.9805，P(X10)=0.9922 故在月初应进10件此种商品，才能以99%以上的把 握保证当月不脱销。3.超几何分布v设一批产品共N件，其中有M件为不合格品，从中 任意取出n(NM)件，其中不合格品数X的分布律为 ：该概率分布称为超几何分布。它含有三个参数M, N 和n，记作H(M, N, n)。v例2.2.8 某人计划从由新上市公司发行的10只股票 中选择4只，但是他并不知道这10只股票中有3只将 使购买者获厚利, 而其余7只则将使购买者亏损。 试求：(1)该购买 者能选中的获厚利股票数目X的概率分布 ；(2)至少能选中一只能获厚利股票的概率。v通常当n/N5%时，超几何分布可用二项分布近似， 即其中p=M/N为产品的不合格品率，q=1p。4.几何分布v如果将贝努里试验独立地重复进行，直至“成功”出现为止 ，则所需的试验次数X具有如下分布律： P(X=k)=pqk1， k=1, 2, 其中p为一次贝努里试验中“成功”出现的概率，q=1p，称X 服从参数为p的几何分布，记作XG(p)。v例2.2.9 一名制造商在某个电子系统使用电保险丝，保险 丝大批量购进后就连续不断地测试，直至观察到第一个次 品时为止。假定每批保险丝含5%次品，试求： (1)需测试次数X的概率分布； (2)测试次数不超过5次的概率。2.3 随机变量的分布函数v定义2.3.1 设X是一个随机变量，对任何实数x，令 F(x)=P(Xx)， 0为常数，则称X服从参数为, 2的正态分 布，且称X为正态变量，记作XN(, 2)。v正态分布最早是由法国数学家德莫弗(De Moivre， 16671754)于1733年提出的。德国数学家高斯 (C.F.Gauss，17771855)在研究误差理论时曾用它 来刻画误差，因此有时也称为高斯分布。图2.4.6 正态分布的密度曲线图2.4.7 不同的正态密度曲线图2.4.8 不同参数2的正态分布密度曲线v正态分布的分布函数为图2.4.9 正态分布的分布函数曲线v=0, =1的正态分布，称为 标准正态分布。其密度函 数和分布函数分别为：图2.4.10 (x)值图2.4.11 (x)=1(x)图2.4.12 (b) (a)v若XN(, 2)，则 服从标准正态分布，即UN(0, 1)。于是，v例2.4.7 已知某种蔬菜的单棵重量服从正态分布，为140克，为12.2克。今随机抽出一棵，试问其重量不小于130克的概率是多少？标准化变换v例2.4.8 设XN(, 2)，试求X落在区间(k, +k) 内的概率，其中k=1, 2, 3, 4。解 对k=1, 2, 3, 4分别得P(|X|0为常数，则称X服从参数为的指数分布， 记为XE()。X的分布函数为图2.4.14 指数分布E()的密度曲线图2.4.15 指数分布E()的分布函数曲线v指数分布常用来描述完成一项任务所花费的时间。 例如，某些电子元器件的寿命、电话的通话时间 、排队等候服务的时间、到达一洗车处的两辆车 间隔时间等都常假定服从指数分布。v连续型的指数分布与离散型的泊松分布之间有着密 切的关系。如果在规定的时间间 隔内某种产品受到 外界的随机冲击次数服从泊松分布，则它受到外界 相邻两次冲击之间的时间间 隔长度(当它受到外界 一次冲击即失效时，可看作是产品寿命)服从指数 分布。v指数分布有一个称作“无记忆性”的重要性质。设产 品寿命XE()，已知产品已工作了s个单位时间， 则它还能再工作t个单位时间的条件概率 P(Xs+t|Xs)=P(Xt)证明v例2.4.11 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分计)服从指数分布，其密度函数某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开 。他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等 到服务而离开窗口的次数。试求： (1)Y的概率分布； (2)P(Y1)。2.5 随机变量函数的分布v一、X是离散型随机变量的情形v二、X是连续型随机变量的情形一、X是离散型随机变量的情形v设X是离散型随机变量，其分布律为v如果诸g(xk)的值全不相等，则Y=g(X)的分布律为v如果g(xk) (k=1, 2, )中存在两个或两个以上的值相等 ，则把那些相等的值合并起来，并根据概率的可加 性将对应的概率相加，就得到Y的分布律。Xx1x2xnPp1p2pnY=g(X)g(x1)g(x2)g(xn)Pp1p2pnv例2.5.1 设随机变量X的分布律为试求： (1)Y=2X+3的分布律； (2)Y=X21的分布律。X21013P二、X是连续型随机变量的情形v设连续 型随机变量X的分布函数为FX(x)，于是 Y=g(X)的分布函数为 FY(y)=P(Yy)=Pg(X)y 从不等式g(X)y中解得X的取值范围，这样就可以 通过已知的X的分布函数FX(x)来得到FY(y)，再对 FY(y)求导便可求得Y的密度函数fY(y)，这种方法称 为分布函数法。v定理2.5.1 设连续 型随机变量X的密度函数为fX(x) ，又函数y=g(x)严格单调且可导，则Y=g(X)的密度 函数为其中h(y)是g(x)的反函数，(, )是Y的取值范围， =ming(), g()，=maxg(), g()v例2.5.3 设XN(, 2)，a(0), b为常数，试求随机 变量Y=aX+b的密度函数。解 由于y=ax+b是严格单调函数，故得即YN(a+b, a22)。v正态分布的一个重要性质： 正态变量的线性函数仍为正态变量，即若XN(, 2)，则Y=aX+bN(a+b, a22)。v例2.5.4 设随机变量X服从均匀分布U0, 1，即密度 函数试求 (0)的分布。v例2.5.5 设随机变量X的分布函数FX(x)是严格递增 的，试证Y=FX(X)服从均匀分布U0, 1。v例2.5.6 设XN(0, 1)，Y=X2，试求Y的密度函数fY(y) 。