第六节 高阶导数一、问题的提出二、主要定理三、典型例题四、小结与思考1一、问题的提出问题:(1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函 数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通 过积分来表示, 这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?2二、主要定理定理证3根据导数的定义,从柯西积分公式得456再利用以上方法求极限7至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数.依次类推, 利用数学归纳法可证证毕高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导, 而在于通过求导 来求积分.8三、典型例题例1解910根据复合闭路定理1112例3解由柯西古萨基本定理得由柯西积分公式得1314例4解15根据复合闭路定理和高阶导数公式,1617例5(Morera定理)证依题意可知18参照本章第四节定理二, 可证明因为解析函数的导数仍为解析函数,19四、小结与思考高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.高阶导数公式20例6证不等式即证.21思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?22思考题答案这一点与实变量函数有本质的区别.放映结束，按Esc退出.23