随机变量的分布列、期望、方差应 用 题考点解说：1：概率统计是高考的重点，前几 年的考题常以填空题的形式出现， 难度不大，但涉及的知识点均有可 能考到，今年不排出考大题的可能, 深圳一模以及前一周的模拟考都 考了大题-应用题，主要是考分布 列、期望、方差。下面我们就来学习 这种类型题的解法。求期望识记期望公式 1）E =X1P1+X2P2+XnPn+, 2）若=a+b,则E=a E+b 3)若-B（n,p)则E=np重点知识回顾求方差识记方差公式 1)D=(X1- E )2P1+(X2 - E )2 P2+(Xn - E )2Pn+ 2）若=a+b,则D=a2D 3)若-B（n,p)则D=npq (q=1-p)例1：已知 的分布列为-101P1/21/3 1/6求（1）E 、D （2）设=2+3.求E 、D 例题选讲动笔解：E =(-1) (1/2)+0 (1/3)+1 (1/6) = -（1/3），总结重点知识回顾1：分布列说明：分布列是求期望和方差的基础。必须要会2：求离散型随机变量的分布列的步骤1）审题目的问句找出随机变量 2）找出随机变量的所有可能的 取值Xi (i =1,2,3,n,)按一 定次序填写到第一行。（难点） 3）求出各取值的概率P(=Xi)(i =1,2,3,n,)(难点） 4)列出表格。例2：设一口袋中有依次标有 -1，2，2，2，3，3数字的六 个球，从这袋中任取一球，求 取得的球上标有的数字的分布列思考：1：确定什么为随机变量？ 2：随机变量可能取值是什么？ 3：取各个值的概率是多少？P( =-1)= P( =2)= p( =3)= 解题过程3)解题过程怎么写（识记）解：设所取球的数字为，则的可能取值是-1，2，3 由于取这六个球的任一个的概 率均为1/6所以P( =-1)= P( =2)= p( =3)= 所以 的分布列-1 2 3 P1/61/21/3例题3：某厂有两个独立的科 研小组，各自都在进行一个新产 品开发研究，若第一组新产品开 发成功，则除去用掉的科研经费 500万元外，还可给该厂带来 6000万元的利润，若第二组成功 ，除用去科研经费200万元外，也 能可给该厂带来4000万利润。如 果某一项目失败，则该项目不但不能产生利润，科研经费也消耗 尽。又已知两个科研小组开发新 产品成功的概率都是0.5, 求这两 个科研小组给该厂带来利润的期 望值.解：设两个科研小组给该厂带来的 利润总和为万元，设事件A表示 第一科研小组新产品开发成功，事 件B表示第二科研小组新产品开发 成功。则P (AB) = P (AB) =P (AB)=P (AB)=1/4的分布列：1000058003500700p1/41/41/41/4E=（10000+5800+3500 700）(1/4)= 4650 （万元）答：这两个科研小组给该厂带来 的利润的期望值为4650万元.例4、某保险公司新开设了一项 保险业务，若在一年内事件E发 生，该公司要赔偿 a元，设在一 年内E发生的概率为p ，为使公 司的收益的期望值等于a 的百分 之十，公司应要求顾客交多少保 险金？解：设保险公司要求顾客交x元保 险金，若以表示公司每年的收益 额，则的分布列为：公司每年收益的期望值为:E= X(1-p)+(x-a)p=x-ap 要使公司收益的期望值等于10%a ， E=10% a 即 x-ap=0.1a 答：顾客交的保险金为 (0.1+p)a时 ，可使公司收益的期望值为10%a 元.xX-ap1-p p月考题：据气象预报，某地区下个 月有小洪水的概率为0.25，有大洪水 的概率为0.01。设工地上有一台大型 设备，为保护设备有以下三种方案 。方案1：运走设备，些时需花费 3800元。方案2：建一保护围墙，需 花费2000元，但围墙无法防止大洪 水，当大洪水来临，设备受损，损 失费为60000元。方案3：不采取措 施，希望不发生洪水，此时大洪水 来临损失60000元，小洪水来临损失为10000元。 试比较哪一种方案好解：方案2需花费的期望为2000+0.0160000+0.99 0=2600（元） 方案3需花费的期望为0.01 60000+0.25 10000+0.74 0=3100(元） 而方案1需花费3800元，故采取方案 2比较好。小结：随机变量的分布列、期 望、方差的应用题重在求分布 列2：求离散型随机变量的分布列的步骤1）审题目的问句找出随机变量 2）找出随机变量的所有可能的 取值Xi (i =1,2,3,n,)按一 定次序填写到第一行。（难点） 3）求出各取值的概率P(=Xi)(i =1,2,3,n,)(难点） 4)列出表格。 3：应用公式求出期望、方差