第八章 重积分第一节 二重积分的概念和性质设有一立体. 其底面是 xy 面上的区域D, 其侧面为母线平行于 z 轴的柱面, 其顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续. 称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积×高.0yzxz = f (x,y)D如图一、引例1. 1.求曲顶柱体的体积求曲顶柱体的体积V.V.步骤如下：（1）分割（化整为零）： 先分割曲顶柱体的底，把 有界闭区域任意分割成n个 小闭区域z = f (x,y)0yzx D（ 2）近似代替：由于 很小, z = fi , ii) i 小曲顶柱体体积 f ( i , i)( i , i)z = f (x,y)（4）取极限（无的体积近似值域则曲顶柱体的体积为求平面薄片的质量（1）分割（化整为零）：将薄片分割成n个小块，（2）近似代替：任取一小块，将其近似看作均匀薄片，则其质量近似为 （3）求和（积零为整）：则薄片总质量为将所有小块质量近似值相加，便得到整个平面薄片的近似值（4）取极限（无限趋近）：二、二重积分的定义积分区域积分区域积分和积分和被积函数被积函数积分变量积分变量被积表达式被积表达式面积元素面积元素对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D，故二重积分可写为D D则面积元素为性质当 为常数时，性质（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质对区域具有可加性性质 若 为D的面积，性质 若在D上特殊地则有性质性质（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）解解解解二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（和式的极限）四、小结思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较， 找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数思考题解答