平行线分线段成比例 定理【解析】因为四边形ABCD为平行四边形， 所以FDBC，BEDQ，所以 ， 因为 ,所以 ,即 ，即 .又因为DE=BF, 所以 , 所以 .由于条件中有平行线，故考虑平行线分线段成比例定理及其推论，利用相等线段和 等比性质，证明线段成比例.相似三角形的判定与 性质【解析】(1)证明：因为DEBC，D是BC的 中点，所以EB=EC，所以ABC=ECB.又因为AD=AC，所以ADC=ACB.所以ABCFCD.(2)过点A作AMBC，垂足为点M.因为ABCFCD，BC=2CD，所以 又因为SFCD =5， 所以SABC =20.因为SABC = BC AM , BC=10,所以 20= 10 AM , 所以 AM=4.又因为DEAM，所以 .因为 ,所以 , 所以 .本题主要考查了三角形相似的判定与性质，解题的关键是找准满足定 理的条件.第(1)问是利用“有两角对应 相等的两个三角形相似”，找出两角对 应相等；第(2)问是首先利用相似三角形的性质，再根据等腰三角形的性质 及中点求出DE的长度.【变式练习2】如图，AE、AF分别为ABC的内 、外角平分线，O为EF的中点. 求证： OBOC=AB2AC2.【解析】因为AE、AF分别为ABC的内、外角平 分线，所以AEAF.又因为O为EF的中点, 所以OEA=OAE.因为OAE=CAE+OAC，OEA=ABE+BAE，而BAE=CAE，所以OAC=ABE.因为AOB为公共角, 所以OACOBA.所以SOBASOAC =AB2AC2.又因为OAB与OCA有一条公共边OA,所以SOBASOAC =OBOC，所以OBOC=AB2AC2.相似三角形的应用【例3】小明欲测量一座古塔的高度，他站在影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的 影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m已知小 明的身高是1.6 m，他的影子长度是2 m.实际生活中有很多类似的测量题，解题的关键是将实际问题转化为数学模型，利用 相似三角形知识求解后再回到实际问题中直角三角形射影定理 的应用 题目符合直角三角形射影定理的条件， 选择合适的直角三角形是解决问题的关键.【变式练习4】如图，已知BD、CE是ABC的两条高，过点D的直线 交BC和BA的延长线于G、H，交 CE于F，且H=BCF.求证： GD2=GF GH.【变式练习4】因为CEAB， 所以H+HFE=90. 又因为BCF=H, HFE=CFG， 所以BCF+CFG=90. 所以FGGC，所以BGHFGC.所以 , 即BG GC=GF GH.又因为DG2=BG GC(直角三角形射影 定理)， 所以DG2=GF GH.1. ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=4， BC=7，求BD的长度.2.如图，E是 ABCD的边BC的中点，若BD=9,求BF的长度.【解析】因为BEAD,所以 .设BF=x, 则 FD=9-x, ,所以 ，解得 x=3.所以 BF 的长度为3.5.如图，在ABC中，AB=AC， BDAC，点D是垂足. 求证： BC2=2CD AC.【解析】过点A作AEBC，垂足为E，则CE=BE= BC.由BDAC，AEBC,得AEC=BDC=90.又因为C=C，所以AECBDC,所以 ，所以 ,即BC2=2CD AC.2.相似三角形的性质把相似三角形的高、对应中线、对应角的平分线，以及周长、 面积都与相似三角形的对应边的比(相似 比)联系起来.利用相似三角形的性质可得到线段的比例、线段的平方比或角相等， 有时还可用来计算三角形的面积、周长和 边长.3.运用直角三角形射影定理时，要注意其成立的 条件，要结合图形去记忆定理.当所给条件具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通 过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理.在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相 联系，要注意它们的综合运用.