2.如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延 长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D. 已知BC=5，EC=4，求ED的长解析：由切割线定理得AE2= ECEB=4 (4+5)=36， 所以AE=6. 因为AE为切线，所以EAC=B. 又EAD=EAC+CAD，EDA=B+BAD. 且CAD=BAD，所以EAD=EDA，所以 DE=AE=6.3.(2011江苏省扬州中学模拟)如图，设AB为O 的任一条不与直线l垂直的直径，P是O与l的公 共点，ACl，BDl，垂足分别为C，D，且 PC=PD.求证： (1)l是O的切线； (2)PB平分ABD.解析： (1)连接OP，因为ACl，BDl，所以ACBD. 又OA=OB，PC=PD，所以OPBD，从而OPl.因为P在O上，所以l是O的切线 (2)连接AP，因为l是O的切线，所以BPD=BAP. 又BPD+PBD=90，BAP+PBA=90， 所以PBA=PBD，即PB平分ABD.4.已知圆O的直径AB=13，C为圆上一点，过C作 CDAB于D(ADBD)若CD=6，求AD的长5.如图，PA切O于点A，D为PA的中点，过 点D引O的割线交O于B、C两点求证： DPB=DCP.圆的切线的判定【解析】 (1)连结OC.因为ACOP， 所以ACO=COP， CAO=POB.由OA=OC，得 OAC=OCA，所以 COP=POB.在COP和BOP中， ,所以COPBOP, 所以 PBO=PCO=90，所以PC是的切线.(2)由COPBOP，得 DPO=OPB，所以 .因为DA=OA=OB，所以 又因为AD等于O的半径，ACOP，所以 , 所以 .本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的 证明，考查平面几何的推理论证能力. 要证直 线PC是O的切线，只要证OCPC即可；要求比例线段，可通过中间比来过渡，结合图 形，利用条件即可获证.【变式练习1】如图，AB是 O的直径，C，F为O上 的点，CA是BAF的角平 分线，过点C作CDAF交 AF的延长线于D点，作 CMAB，垂足为点M. 求证：(1)DC是O的切线;(2)AM MB=DF DA.【解析】连结OC， 则OAC=OCA.又因为CA是BAF的角平分线，所以OAC=FAC，所以FAC=OCA，所以OCAD.因为CDAD，所以CDOC，即CD是 O的切线.(2)连结BC.在RtACB中，CM2=AM MB.因为CD是O的切线，所以CD2=DF DA.又RtAMCRtADC，所以 CM=CD，所以AM MB=DF DA.切割线定理及其应用【解析】连结AE，AF.因为AB是圆O的直径，所以AEB=AFB=90.又CDB=90，ABC=DBF，所以DBCFBA,所以 ，即AB BD=BC BF.因为AEB=90，CDAB，所以BE2=BD AB(直角三角形射影定理).因为CT是切线，CB是割线，所以CT2=CF CB.所以BC2 - CT2=BC2 CF CB=BC (BC - CF)=BC BF,所以 BE2=BC2 - CT2，即BE2+CT2=BC2.有切线有割线，考虑利用切割线定理；有直径，莫忘直角；有平方形式，考虑直角 三角形射影定理.【变式练习2】如图，AB是O的直径，C，F是O上的两点，OCAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2DBDA. 【解析】连结OF.因为DF切O于F， 所以OFD90. 所以OFCCFD90. 因为OCOF， 所以OCFOFC. 【解析】因为COAB于O，所以OCF CEO90. 所以CFDCEODEF，所以DF DE. 因为DF是O的切线，所以DF2DBDA. 所以DE2DBDA.四点共圆及其应用 【例3】如图，已知ABC 的两条角平分线AD和CE相 交于H，B=60， F在AC上，且AE=AF.证明：(1)B，D，H，E四点共圆；(2)CE平分DEF.【解析】(1)在ABC中，因为B=60， 所以BAC+BCA=120.因为AD、CE是角平分线，所以HAC+HCA=60，所以 AHC=120，所以EHD=AHC=120.因为EBD+EHD=180,所以B，D，H，E四点共圆.(2)连结BH，则BH为 ABC的平分线.由(1)知，B，D，H， E四点共圆 ,CED=HBD=30.又EBD=AHE=60,由已知可得EFAD, CEF=30，所以CE平分DEF.本题是对考生几何推理论证能力的综合考查，所用到的知识较多，证明的关键是根 据四点共圆的条件进行证明.在解题时要根据已知条件，通过等量代换将角集中到一个 四边形中，达到使用条件的目的.2.(2011南通三模卷)如图，O的直径AB的 延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O 上一点，AE=AC，求证：PDE=POC.解析:因为AE=AC，AB为直径，故OAC=OAE.所以 POC=OAC+OCA=OAC+OAC=EAC.又EAC=PDE，所以PDE=POC.【解析】根据相交弦定理，得PD PC=PA PB，所以PD 6=43, 所以PD=2(cm).因为EA是O的切线，所以EA2=ED EC，所以 20=ED (ED+8)，所以ED=2(cm),则PE=4(cm).4.已知O1和O2都经过A、B两点，经过点A的直 线CD与O1交于点C，与O2交于点D . 经过点B 的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F. 求证 ：CEDF.【解析】如图，连结AB.因为四边形ABEC是O1的内接四边形， 所以BAD=E.因为四边形ADFB是O2的内接四边形，所以BAD+F=180.所以E+F=180, 所以CEDF.3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用相交弦定理、切割线定理及其推论；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等 积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式比例式 中间比相似三角形.4.与圆有关的常用辅助线(1)有弦，可作弦心距；(2)有直径，可作直径所对的圆周角；(3)有切点，可作过切点的半径；(4)两圆相交，可作公共弦；(5)两圆相切，可作公切线；(6)两半圆，可作整圆.