大学数学与中学数学的联系华东师范大学数学系 陈月兰E-mail： ylchenmath.ecnu.edu.cn2008.11.17山东淄博初中骨干教师o图形的对称与群 o数系的扩充 o同余 o数学证明一一. .对称对称 1.1.1.1.人们身边充满了对称人们身边充满了对称: :比如比如: :对称与群对称与群以上我们看到各种各样的“对称”，得到了感性认识，下 面（主要是封闭的平面图形）要考虑如何把它们当中共同 的本质抽象出来，用数学语言理性地描述对称。什么是对称的共性？什么是对称的本质？下面我们先对“平面图形的对称”进行分析，再对“元多项式 的对称”进行分析，继而把它们综合起来，得到关于“对称” 的统一的本质。对称与群二:平面图形的对称2.1 在运动中看 “对称” 正三角形与正方形谁“更”对称一些？正方形绕中心旋转顺时针旋转90r1如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢?o 定理1（几何形式M.Chasles(1793-1880) ）平面的运动有且仅有下列三种：沿任一给定向量的平移；以任意点为中心的旋转；绕某以直线作翻摺后再沿该直线 上的一个向量作一平移（包括作 纯翻摺）。 对称与群抽象观点与具体例子的对照对称与群描述3元多项式对称性强弱的一种量化的方法. 这就是 把所有使3元多项式不变的“3元置换”放在一起, 构成 一个集合，记为S(f),称为f的“对称集”. S(f)中元素个 数|S(f)|是对f的对称性的量化描述. 群的定义（定义4 ）o所谓群，是指一个特定的集合，该集合上的一种运算满足一定的 性质. 具体来说，即： oG是一个群，是指（1） G是一个集合；（2）存在二元运算（记为 ），它是 的一个映射； （3）关于二元运算满足群公理（i）结合性公理 对的任意元素 ，都有 ；（ii）单位元素公理 在G中存在元素，使得对G中任何元素，都 有 （iii）逆元素公理 对G的任何元素，都存在G中的唯一元素 ，使得.群在中学数学中的实例o （1）全体整数、全体有理数、全体实数、 全体复数，关于通常的加法都构成群，单位 元是0，a的逆元素是-a. o 正有理数全体，正实数全体，关于通常的乘 法也都构成群，单位元都是1， a的逆元素 是1/a. o （3）由整数1和1组成的集合， 关于乘法 构成群。生活中的群例、四元旋转群. 记G=L、R、H、I，其中L 表示向左转，R为向右转，H为向后转，I为 不动. 上定义的二元运算为“接着”，如 LR表示先向右转再接着向左转，其余类推 . 容易验证，G关于这一运算确实构成一个 群正方形绕中心旋转顺时针旋转90r1如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢?正方形绕中心旋转顺时针旋转90累积180r2正方形绕中心旋转顺时针旋转90累积270r3正方形绕对边中点连线（铅直）翻摺f1正方形绕对边中点连线（水平）翻摺f2正方形沿对角线翻摺f3正方形沿对角线翻摺f4o正方形的对称群是由下列平面 运动组成 oS（正方形）=I，r1，r2，r3 ，f1，f2，f3，f4o对平面有限图形对成群的研究和 分类，发现只可能出现如下6种 不同情形（1 1）仅由单位（恒等或不动）变换所组成）仅由单位（恒等或不动）变换所组成 的对成群的对成群K K1 1。这是任意非对称图形的对成。这是任意非对称图形的对成 群。群。（2 2）由单位变换及关于某一直线）由单位变换及关于某一直线 的翻折组成的对称群的翻折组成的对称群K K2 2。（3 3）只有一些旋转组成的对成群）只有一些旋转组成的对成群K K3 3，但，但 其中不含作任意小角度的旋转情况。其中不含作任意小角度的旋转情况。（4 4）只有一些旋转组成的对成群）只有一些旋转组成的对成群K K4 4，但它，但它 含有作任意小角度的旋转。此时，作任意角含有作任意小角度的旋转。此时，作任意角 度度 的旋转仍属于群的旋转仍属于群K K4 4。这里的所有的运动。这里的所有的运动 或是图形本身或是旋转，排除了关于直线的或是图形本身或是旋转，排除了关于直线的 翻转。这是平面上有方向的圆环的对成群。翻转。这是平面上有方向的圆环的对成群。（5 5）设在平面上有）设在平面上有n n条过重心条过重心o o点的直线，点的直线， 这些直线分平面为这些直线分平面为2n2n个等角。对称群个等角。对称群K K5 5由由 关于这些直线的关于这些直线的n n种翻转以及绕种翻转以及绕o o旋转旋转 的倍角而生成。具有这样对称群的图形包 括正2n边形。（6 6）由绕）由绕o o点所有旋转及关于所有过点所有旋转及关于所有过o o点的直点的直 线的翻转生成的对成群线的翻转生成的对成群K K6 6。无方向圆及无方。无方向圆及无方 向圆环可作为它的例子。向圆环可作为它的例子。数系的扩充oN Z QR C o元素 o运算数系扩充的方法： 初等数学 添加元素 高等数学 构造法（目的、造元、嵌入） 构造：造元、定义运算、解决运算 利用商集造元 数系扩充后的得失加法减法乘法除法开方极限NZQRC数系的扩充解决的问题失去的性质N Z减法运算封闭最小数原理Z Q除法运算封闭离散性Q R极限运算封闭可数性R C 一元n次代数方程 的根的存在顺序性（大小 序）o 自然数的性质 o 整数的性质 o 有理数的性质 o 无理数的性质 o 实数的性质 o 复数的性质o 质数的基本性质质数的排列有否规律o 同余概念复数不能比较大小o序结构（代数结构 拓扑结构） o大小序o 对于复数集来说，可以按字典顺序排成全 序，但不能满足保序性，因此无法比较大小 . o 先证明复数集C可按字典顺序排成全序 o 任意, C =x1+y1i ，=x2+y2i=规 定n但是乘一切正数的保序性不满足。 o这里一切正数是指复数中按字典顺序 o=（x，y）（0，0）， o而（x，y）（0，0），x0或x=0，y0。 o复数不能保证乘任何“正数”保序。 o反例：i即（0，1），显然（0，1）（0，0） 但（0，1）*（0，1）（，0） * （0，0）。 （-1，0） （0，0）谢谢！