第二讲 预期效用函数与均方偏好对外经济贸易大学金融学院 郭敏 教授 minguo992002yahoo.com.cn*1一、二元关系(binary relations)与偏好关系 （preference relationship）二元关系(binary relations)o一个集合上的二元关系是确定这个集合中两 元素之间的一种联系。o有的二元关系所涉及的两个元素有相同的性 质，有的二元关系所涉及的两个元素则属于 不同性质的集合。o有的二元关系满足一定的性质，如完全性、 传递性、自反性、 （非）对称性。我们主要 考虑前三者。Date2二元关系(binary relations)o定义集合X,元素x，y，z。o如果二元关系满足；对于任意x X, 有x x, 则称 具有自反性o如果二元关系满足；对于任意x,y X, 要 么x y, y x, 则称 具有完全性。o如果二元关系满足；对于任意x,y,z X, x y, y z, 意味着x z, 则称具有传递性。Date3o定义: 是指具有传递性、完全性、自反性的一个二 元关系。o偏好关系的一般表示是对于x,y X,有 x y，但 有以下两种特殊偏好关系： 给定偏好关系，称x与y是无差别的，如果x y， y x。记为x y称x严格偏好y，如果x y，但y x不成立。记作 ： x y偏好关系(preference relationship)Date4三、期望效用函数不确定性下的投资决策选择o给定偏好关系虽然可以用效用函数来表示 ，但是当可能状态数目非常巨大时，证券 组合是一个高维的向量或随机变量,为此 ， 我们对效用函数进一步限制，经常用 一类更为特殊的、性质更好的效用函数 期望效用函数。Date5（一）不确定性下的选择问题与对象o不确定性下的选择问题是其预期效用最大化 的决定，这不仅决定自己行动的选择，也取 决于自然状态本身的选择或随机变化。o因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（ Lottery)或未定商品（contingent commodity)Date6o假设投资者的证券组合收益变量的概率分 布定义在有限集合L上，o投资者的证券组合选择也可看成抽彩（ lottery）（或者投资者的消费计划，或 者投资收益），L中的元素为所有可能各种 奖金数额，不妨设L=l1，ln，得到 奖品的li的概率为p(li)，i =1，2.n.o(l1，p1；ln,，pn)表示一次性抽彩p P。Date7o复赌（复合抽彩“a compound lottery”）:o显然一次性抽彩或复合抽彩涉及不确 定性利益Date8o公理：不确定性利益是某些随机变量所构 成的一个集合L，并且对于任何两个不确 定性利益a, b来说，以概率p得a，以概 率（1p)得b也是不确定性利益，这个 不确定性利益可称为a以概率p与b的平均 ，记为（a, b ;p).Date9（二）期望效用函数（expected utility function）不确定性下的投资决策原则oVNM预期效用函数：在不确定性下，证券 收益都是随机变量，在所涉及的随机变量集 合L上直接定义效用函数u: L R，使得不确定性利益a比不确定 性利益b好等价于u (a)u (b),并且对于 任何不确定性利益a与b，a以概率p与b的 平均(a, b；p), 满足：u (a, b; p)=pu(a)+(1-p)u(b)Date10o其含义是一种“未定商品”的效用就等于该 “未定商品”所涉及的“确定商品”效用的均 值。o所谓期望效用函数是定义在一个随机变量 集合上的函数，它在一个随机变量上的取 值等于它作为数值函数在该随机变量上取 值的数学期望。用它来判断有风险的利益 就是比较“钱的函数的数学期望”（“而不 是钱的数学期望”）。Date11o如果偏好可以用期望效用函数来表示 ，那么它明确的表示了不同状态的概 率分布如何影响消费计划的总效用。o偏好中的概率以及消费本身的个人喜 好明确分离，前者是外生的，后者是 因人而异的。Date12o期望效用函数的时间可加性或时间分离性o效用函数把影响偏好的三个因素完全分开：每一消费路径发生的概率P消费的时间性由消费得到的效用本身uDate13期望效用函数的提出者VNM效用函数（上）John von Neumann (1903-1957)（下）Oskar Morgenstern (1902-1977)o1944 年在巨著对策论与 经济行为中用数学公理化 方法提出期望效用函数。这 是经济学中首次严格定义风 险Date14（三）期望效用函数的公理化陈述pVNM期望效用函数存在定理 :定义在L上的偏 好关系，若它满足如下公理，则该偏好关系可 以 用von Neumann and Morgenstern 期望效用函数：u( a, b; p)=pu(a)+(1-p)u(b)表示， 并且期望效用函数是唯一的。Date15公理1（序假设）o二元关系是一个定义在L上的偏好关系， 满足：自返性传递性完全性Date16假设2（约简公理 Reduction Axiom）对于任意o即Date17p对于p,q L, pq, 意味着 ap+(1-a)r a q+(1- a)r, 对任意r L , 任意a (0,1)。q含义:引入一个额外的不确定性的消费计划不 会改变原有的偏好。也即消费者对于一个给 定事件中的消费p、q的满意程度并不依赖于 如果另外事件发生时消费r将会是什么。公理3 （独立性公理或替代公理， Independent or Substitute Axiom）Date18p对于p,q,r L,pqr, 则存在实数a ,b (0,1)使 得 ap+(1-a)rqbp+(1- b)rq含义:没有哪一个消费计划p好到使得对任意满足qr 的消费计划，能使得P的发生是个等于b的小概率事 件而r的发生是等于（1b）的大概率事件的复合彩 票bp+(1-b)r的效用从来不比q差。同样，没有哪 一个消费计划r， 差到使得对任意满足pq的消费计 划能使得P的发生是等于a的大概率事件，而r的发生 是等于一个（1-a）的小概率事件的复合彩票ap+(1 -a)r的效用从来不比q好。即不存在无限好或无限差 的消费计划。(数学上有类似的阿基米德公理)公理4（阿基米德公理， Archimedean Axion）Date19（四）对期望效用函数的置疑“ Allais 悖论” (1953)o期望效用函数似乎是相 当人为、相当主观的概 念。一开始就受到许多 批评。其中最著名的是 “ Allais 悖论” (1953)。o由此引起许多非期望效 用函数的研究，涉及许 多古怪的数学。但都不 很成功。o（法）Maurice Allais (1911-) 1988 年诺贝尔 经济奖获得者。Date20（五）风险厌恶偏好o18世纪著名的数学家Daniel Bernoulli 在研究赌博问题时发现，人们往往对赌博输 掉的钱看得比可能赢的钱跟重。例如:有一 个掷硬币的赌局，假定硬币是完全对称的， 正面朝上可以赢2000元，反面朝上1分钱 什么也没有。现在入局费为多少，才能使这 场赌博为一场公平的赌博？Date211.公平赌博v公平赌博是指不改变个体当前期望收益的赌 局，如一个赌局的随机收益为 ，其变化均 值为E()=0的赌局。或者公平赌博是指一个 赌博结果的预期只应当和入局费相等的赌博 。Date22o考虑一个博弈，它以概率p有一个正的回 报h1,以概率（1-p）有负收益h2, 它称为 一个公平的赌博是指ph1+(1-p)h2=0。o如果在某场博弈中，某一局中人所赢钱的 数学期望值大于零，那么此人应当先交出 等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博 变得公平。o或者说公平的赌博得结果的预期只应当和 入局前所持有的资金量相等，即赌博的结 果从概率平均意义上的应该是不输不赢。Date23怎样判别风险厌恶、风险喜好和风险中性若投资者的初始财富为W0，他不参与一 个公平赌博，则其效用值是U(W0),若参与 ，则其财富会起变化，变化的财富的期望效 用是以p取（ W0 h1),以（1p）取（ W0 h2),比较投资者对二者之间态度，可 以判断投资者的风险态度。Date24确定性利益与不确定性利益的效用比较Date25p定义：如果投资者不喜欢参与任何公平的赌博，即u(W0) pu(W0+ h1)+(1-p)u(W0+h2)，则称投 资者是风险厌恶型。此时，效用函数u是一个 凹函数，更一般的表示为：u(E(W)E(u(W) 。p个体风险厌恶是指个体不愿意接受或至多无差 异于任何公平的赌博。p个体严格风险厌恶是指个体不乐意接受任何公 平的赌博。p定理 u的凹性对应着个体风险厌恶；u的严格 凹性对应着个体严格风险厌恶。2.风险厌恶Date26风险厌恶的函数图形Date27o定义：如果投资者喜欢参与所有公平的赌 博，即u(W0)pu(W0+ h1)+( 1-p) u(W0+ h2)，则称投资者是风险爱好型 。此时，效用函数u是一个凸函数，更一 般的表示为：u(E(W) E(u(W)。3.风险喜好Date28o这种投资者把风险的“乐趣”考虑在内， 使预期收益率上调。因为上调的风险效用 的公平赌博的确定等价值高于一个确定性 收入财富，风险爱好者总是加入公平赌博 。Date294、风险中性o定义：如果投资者对是否参与所有公平的赌 博没有任何差别，则称投资者是风险中性型 。此时，u(W0)=pu(W0+h1)+( 1-p) u(W0+ h2)，o效用函数u是一个线性函数，更一般的表示 为：u(E(W)=E(u(W)Date30o这时，投资者对风险采取完全无所谓的态 度，不对风险资产要求任何风险补偿。投 资者只是按照预期收益率来判断风险投资 。风险的高低与风险中性投资者无关，这 意味着不存在风险妨碍。对这样的投资者 来说，资产组合的确定等价报酬率就是预 期收益率。 Date31四、个体风险厌恶度量o假定所有投资者是厌恶风险的，然而每个人 风险厌恶的程度可能个不相同，因此需要对 风险厌恶程度给出一个度量。oMarkowitz risk premiumoPratt-Arrow risk premiumDate32（一）确定性等值与Markowitz risk premiumo定义：W0-f(W0,H) 称为确定性等值（ certainty equivalent wealth）o确定性等值（CE)是一个完全确定的量 ，在此收入水平（被认为这是一个确定 性财富）上的效用水平等于不确定条件 下财富的期望效用水平。Date33o定义：f(W0,H) 是一个收入额度，当一个完全确 定的收入减去该额度后所产生的效用水平等于不确 定性条件下财富的期望效用水平。该额度越大表明 投资者为了避免赌博愿交的罚金越多，因而就越厌 恶风险。of(W0,H) 是投资者为了避免参与赌博（一个不确 定性）愿意放弃的财富或缴纳罚金的最大数量。这 个特定的额度称为罚金f(W0,H)或Markowitz risk premium.Date34o它们满足下式u(W0-f(W0,H)=pu(W0+h1)+(1-p)u(W0 +h2)其含义是一个确定的初始财富减去一个特定的 额度后的效用相当于不确定财富的期望效用.或者Date35（二）Pratt-Arrow risk premiumo定义 考察风险很小的赌博，Pratt-Arrow风 险溢价定义为：Date36（三）绝对风险厌恶与相对风险厌恶v绝对的厌恶风险型o对于个体效用函数，定义它的绝对风险厌恶 系数为：o用来判断当个体在风险资产与无风险资产之 间进行选择时，是否能像对待正常商品一样 对待有风险资产。Date37v 定义 如果RA（）是严格递减的函数，即，那么称投资者是递减