将代入到质点系动量定理，得,若质点系质量不变，则,上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。,1. 投影形式：,三、质心运动定理,第二章,21,3. 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这个点上。,或,第二章,22,4. 质心运动守恒定律若，则 常矢量，质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，即 则常矢量,质心位置守恒。若则 常量，质心沿x方向速度不变；若存在 则 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。,5质心运动定理可求解两类动力学问题：已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。,只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。,第二章,23,应用质心运动定理解题步骤：,1、分析质点系所受的全部外力，包括主动力和约束反力；,2、为求未知力，可计算质心坐标，求质心加速度，然后应用质心运动定理求解；,3、在外力已知的条件下，欲求质心运动规律，积分求解；,4、如果外力主矢为零，且初始时质点系静止，则质心坐标保持不变。分别列出两个时刻质心坐标，令其相等，即可求出质点位移。,第二章,24,Fy,Fx,FN,例题5 曲柄滑块机构中，设曲柄OA受力偶作用以匀角速度转动，滑块B沿x轴滑动。若OAABl，OA及AB皆为均质杆，质量皆为m1，滑块B的质量为m2。试求此系统的质心运动方程、轨迹以及此系统的动量。,解：设t=0时OA杆水平，则有 t。质心C 的坐标为,O,A,B,y,x,第二章,25,上式也就是此系统质心C的运动方程。由上二式消去时间t得,Fy,Fx,FN,O,A,B,y,x,第二章,26,x,动量的方向沿着轨迹的切线方向，可用方向余弦表示,第二章,27,Fy,Fx,FN,O,A,B,y,x,第二章,1,小结,质点系的动量定理,质心运动定理,动量守恒定律,质心运动守恒定律,第二章,2,例题1 匀质杆AB长为2l，B端放在光滑水平面上。杆在如图所示 位置由静止自由倒下，求A点的轨迹方程。,c,A,B,解：这是一个由已知力求质心运动的问题,杆在倒下过程中，质心在水平方向不受礼，故质心在水平方向的位置不变。,初始时，静止。,任一瞬时，杆与水平方向成角，则A端的坐标为（x,y）。A端到质心的距离为l。所以,这是一个椭圆方程，所以A点的轨迹为椭圆。,第二章,3,例题2 一根柔软、无弹性、线密度为、长为l 的绳索，其上端A 由高l处的o点铅直自由坠到地板上，求当绳索在空中剩下 的长度为l-x（x l ) 时，空中部分绳索的速度，及对地板 的最大压力。,解：取坐标，A点的坐标为 ，速度为 ， 加速度为,空中部分仅受重力，做自由落体运动。,绳索整体受外力：重力 ，地板压力,由质心运动定理：,（1）,（2）,第二章,4,是A点的加速度g,由牛顿第三定律，绳索对地板的压力也等于,当x=l 时，,第二章,5,3 角动量定理与角动量守恒定律Theorem of angular momentumconservation law of angular momentum,一、 对固定点的角动量定理和对固定轴的角动量定理,1.对固定点的角动量定理,n个质点的质点系中第i个质点,将n个方程求和,第二章,6,质点系对任一固定点的角动量对时间的导数，等于诸外力对同一点的力矩的矢量和。这就是质点系对固定点的角动量定理。,与内力矩无关。,质点系的角动量的微分等于诸外力的元冲量矩的矢量和。,（）,第二章,7,直角坐标系中的分量形式,2.对固定轴的角动量定理,在固定 l 轴上取固定点o，用 点乘式（ ），,质点系对固定轴的角动量定理,第二章,二、 角动量守恒律,8,某段时间内，作用在质点系上的外力对定点的合力矩为零时,质点系对该点的角动量守恒.,若 则,作用于质点系的诸力对轴的力矩和为零时,质点系对该轴的角动量不变.,第二章,9,解：对O轴，,猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为 。,例题1 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？运动的速度多大？（轮重不计）,系统的角动量守恒。,第二章,10,解：,例题2 已知：猴子A质量为m，猴子B质量为m，绳子两端距o轴平面的距离为s与s，同时以匀加速度向上爬。（轮重不计）问需多久时间，A、B可以同时到达？,将A、B看成质点系，利用角动量定理。它们对水平轴的角动量：,外力对同一轴力矩,由角动量定理,为什么不用动量定理解？,第二章,11,三、 质点系在质心系中对质心的角动量定理,1.质点系在质心系中对质心的角动量定理,在质心上，建立随质心一起运动的坐标系，n个质点的质点系中第i个质点相对质心的位矢为,第i个质点所受的惯性力,用 左矢乘上式两边,第二章,12,注意：质心是个特殊的动点，对于其他动点一般不能得到 上面形式的角动量定理。,对质心的角动量定理,第二章,13,O,Pi,Pi点相对固定点o的位矢,质点系对固定点的角动量等于质点系对质心的角动量与质心对固定点角动量的矢量和。,第二章,14,例题2 如图，半径为R、质量为M的均匀薄圆环，在OXY面内沿OX轴作无滑滚动，环心速度为 ，求圆环对O点的角动量。,o,x,y,c,解：,第二章,15,3.有关质心与内力的讨论,a)质心是质点系问题中十分重要的一点，同时也是十分特殊的一点。,b）质心的运动代表平动，不能完全的代表质点系的运动。,c)内力的作用：对 和 的演化过程有影响。一对对内力造成了各质点间动量与角动量的等量转移。内力对质点系的运动至关重要。,第二章,16,4 动能定理与机械能守恒定律Theorem of Kinetic Energy and Conservation Law of Mechanical Energy,一、 质点组的动能定理,对质点组的任一质点用动能定理，有,求和得,T是质点系的动能，这就是质点系的动能定理。注意在动量定理，角动量定理中，内力的作用能相互抵消，但在动能定理中，内力是不能消去的。,第二章,17,这是由于一切内力做功为,只要 变化，内力就做功， 的方向永远与 方向共线，故能使质点系不受外力，但动能并不守恒，这是因为内力做功不为零。,二、机械能守恒定律,如，作用在质点系上所有外力及内力都是保守力(或者某一些力不做功)，则有,E总能量，T质点系动能，V质点系的势能。,第二章,18,三、柯尼希定理,考虑质点系的特殊坐标系质心坐标系,设C-x,y,z 的原点固定在C上，并随C在C-x,y,z中平动，,O,Pi,x,y,第二章,19,动能由两项组成：质点组全部质量集中在质心上时，运动的动能质心的动能。在质心系中各质点的动能相对质心系的动能。这就是柯尼希定理。注意此定理只对质心系成立，对别的点就不成立了(如 A点)。,四、对质心系的动能定理,由运动方程出发，非惯性系给出对第i个质点,两边标乘相对质心系的位移,并对i求和,第二章,20,质点组在质心系中，总动能的变化等于作用在质点系的外、内力做的元功之和。质心系动能定理形式上与惯性系相同，惯性力不起作用，可把质心系当成惯性系来用。赝动能定理,第二章,21,例题1 质量为m1和m2的两自由质点互相以力吸引，引力与其质量成正比，与距离平方成反比，比例常数为k。开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a。试求两质点的距离为 时两质点的速度。,解:,令质量为m1的质点的速度为 ，,质量为m2的质点的速度为 ，,m1,m2,r,无外力作用，动量守恒,万有引力势能,解得,第二章,解：小球、管和轴构成系统。建立柱坐标,r,受外力 ，它们对z轴的力矩均为零。故系统对z轴角动量守恒。,系统机械能守恒。,第二章,22,第二章,23,作业：,P.84-89,P.113:2.5),2.6),2.10),