Date1第二章 控制系统的数学模型控制系统的性能一般从哪三个方面来评价？Date2第二章 控制系统的数学模型第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型1.1.定义：数学模型定义：数学模型是描述系统输入输出变量以及内部是描述系统输入输出变量以及内部 其它变量之间关系的数学表达式其它变量之间关系的数学表达式2.2.描述方法：描述方法：输入输入- -输出描述（端部描述）输出描述（端部描述）常微分方程常微分方程 传递函数传递函数 系统框图系统框图状态变量描述（内部描述）状态变量描述（内部描述）状态方程是这种描述的最基本形式，适用多输入多输出系统状态方程是这种描述的最基本形式，适用多输入多输出系统一. 描述系统运动的数学模型Date3第二章 控制系统的数学模型二. 建立系统数学模型的方法 解析法: 根据系统各变量所依据的物理定律 、化学定律或者其它的自然规律，列写出每一个 元件的输入-输出的关系式，然后消去中间变量 ，从而求得系统输出与输入的表达式。 实验法：给系统施加一定的测试信号，依据 系统对测试信号的响应或实验数据来建立数学模 型，又称系统辨识。Date4第二章 控制系统的数学模型2.1 2.1 列写系统微分方程的一般方法列写系统微分方程的一般方法一. 用解析法建立系统微分方程的一般步骤 分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入 量和输出量，并根据需要引进一些中间变量（必要扰动）。 根据各元件在工作过程中所遵循的物理、化学定律，列写 系统中每一个元件的输入与输出的微分方程式（考虑相邻元件 之间的影响）。 消去中间变量，求得只含输出、输入变量及其各阶导数的微 分方程。 对所求的微分方程进行标准化处理。与输入有关的项写在 方程等号的右方，与输出有关的项写在方程等号的左方。Date5第二章 控制系统的数学模型图2-1 -L-C电路二. 例子消去中间变量 ，则有:解：由基尔霍夫定律得：1、电气网络系统例1：无负载效应的电路Date6第二章 控制系统的数学模型图2-2 R-C滤波网络消去中间变量i1 、 i2 得或写作例2：有负载效应的电路 列写2极相同形式RC串联电路组成的 滤波电路的微分方程 对于图2-2所示的电路，在列写方程时必须考虑后级电路对 前级电路的影响，由基尔霍夫定律列出下列方程组：解：Date7第二章 控制系统的数学模型例例3 3：求图：求图2-32-3所示弹簧所示弹簧- -质量质量- -阻尼器系统的数据模型阻尼器系统的数据模型解：由牛顿第二定律列出方程解：由牛顿第二定律列出方程图2-3 弹簧-质量-阻尼器系统即即式中：式中：- - 阻尼器阻力阻尼器阻力ky(tky(t) - ) - 弹簧拉力弹簧拉力- - 为弹簧的弹性系数为弹簧的弹性系数2、机械位移系统 - - 为阻尼系数为阻尼系数Date8第二章 控制系统的数学模型描述线性定常系统输入与输出关系的微分方程式为列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有关系的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式写微分方程式的一般步骤Date9第二章 控制系统的数学模型 直流他励发电机 直流他励发电机由电机学原理得：图2-4 直流他励电动机电路图把式（2-2）代入（2-1），则得（2-1）（2-2）（2-3）式中假设拖动发电机的原动机的转速n0恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲 线为一直线 ，即/ib =L。Date10第二章 控制系统的数学模型2.2 非线性数学模型的线性化一、可线性化的条件一、可线性化的条件 变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在二、微偏法二、微偏法在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并 略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替 原有的非线性方程。Date11第二章 控制系统的数学模型设一非线性元件的输入为x、输出 为y，它们间的关系如图2-5所示，相应的数学表达式为图 2-5 非线性特性的线性化y=f(x)（2-4）在给定工作点A（x0,y0）附 近，将上式展开为泰勒级数Date12第二章 控制系统的数学模型y=f(x) Date13第二章 控制系统的数学模型三、举例三、举例直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线 ，实际上发电机的磁化曲线如图2-5所示。设发电机原工作于磁化曲线的A点，若令发电机的励磁电压增加 U1，求其增量电势EG的变化规律。图2-5 发电机的磁化曲线若励磁电压增量 ，则有如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离便较小 ，从而可以通过点A作一切线CD，且以此切线CD近似代替原有的曲 线EAF。在平衡点A处，直流电机的方程为Date14第二章 控制系统的数学模型由式（由式（2-212-21）减式（）减式（2-192-19），式（），式（2-222-22）减式（）减式（2-202-20）后得）后得式（式（2-232-23）、（）、（2-242-24）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点点A A处受到处受到u1u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐标原点不是在线的坐标原点不是在OO点，而是移到点，而是移到A A点。因而发电机的初始条点。因而发电机的初始条件仍为零。式中件仍为零。式中N N为励磁绕组的匝数。为励磁绕组的匝数。Date15第二章 控制系统的数学模型Date16第二章 控制系统的数学模型在实际应用中，常把增量符号“”省去，这样上述两式显然和 （2-9）（2-10）完全相同小结 随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数 和放大倍数 是不同的。 由线性化引起的误差大小与非线性的程度和工作点偏移的大小有关。Date17第二章 控制系统的数学模型