2.5 高斯光束的基本性质及特征参数 沿z轴方向传播的基模高斯光束的表示其中，c为常数，r2=x2+y2，k=2/，0为基模高斯光束的腰斑半径 ，f 称为高斯光束的共焦参数高斯光束在自由空间的传输规律W振幅因子光斑半径(z)基模高斯光束在横截面内的场振幅分布按高斯 函数所描述的规律从中心向外平滑地降落。 由振幅降落到中心值的1/e处的点所定义的光 斑半径为(z)W远场发散角0（定义在基模高斯光束强度的 1/e2点的远场发散角）far-field beam angle 相位因子等相位面的曲率半径R(z) 因子kr2/2R表示与横向坐标（x,y）有关的相位移动 ，表明高斯光束的等相位面是以R为半径的球面，其 曲率半径随坐标而变化，且曲率中心也随z不同而不 同；当z=f时，R(z) =2f；当z =0时， R(z)； z 时， R(z) 。 曲率中心的位置= z-R(z) ，说明球心在共焦腔腔外，说明球心在共焦腔腔内Wavefront radius of curvature R(z) The radius of curvature R(z) has a variation with distance given analytically by The wavefront is flat or planar right at the waist, corresponding to an infinite radius of curvature or R(0)=. As the beam propagate toward, however, the wavefront gradually becomes curved, and the radius of curvature R(z) drops rather rapidly down to finite values. For distance well beyond the Rayleigh range f the radius then increases again as R(z)z, i.e., the gaussian beam becomes essentially like a spherical wave centered at the beam waist. What this means in physical terms is that the center of curvature of the wavefront starts out at for a wavefront right at the beam waist, and then moves monotonicaly inward toward the waist, as the wavefront itself moves outward toward z . 高斯光束在其传输轴线附近可近似 看作是一种非均匀球面波，其曲率中 心随着传输过程而不断改变，但其振 幅和强度在横截面内始终保持高斯分 布特性，且其等相位面始终保持为球 面。用参数0（或f）及束腰位置表征高斯光束 用参数(z)和R(z)表征高斯光束 如果知道了某给定位置处的(z)和R(z)，可决定 高斯光束腰斑的大小0和位置z 高斯光束的q参数基模高斯光束的特征参数引入一个新的参数q(z)，定义为 参数q将(z)和R(z)统一在一个表达式中，知 道了高斯光束在某位置处的q参数值，可由下 式求出该位置处(z)和R(z)的数值用q0=q(0)表示z=0处 的参数值（purely imaginary），得出高阶高斯光束 (Higher-order Gaussian modes) 厄米特-高斯光束 其横向场分布由高斯函数和厄米特多项式 (Hermite polynomial)的乘积决定，沿x方向有m 条节线，沿y方向有n条节线The Hermite-gaussian beam functions alternate between even and odd symmetry alternating index n. The n-th order function has n nulls and n+1 peaks. 附加相移 x方向和y方向的光腰尺寸 在z处的光斑尺寸在x方向和y方向 的远场发散角 拉盖尔-高斯光束 柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布 由函数描述，沿半径r方向有n个节线圆，沿辐 角方向有m根节线The higher-order Laguerre-gaussian mode patterns are characterized by azimuthal and radial symmetry. 附加相移为 光斑半径 发散角2.6 高斯光束q参数的变换规律 普通球面波的传播规律 高斯光束q参数的变换规律 用q参数分析高斯光束的传输问题普通球面波的传播规律 研究对象：沿z轴方向传播的普通球面波，曲率中心 为O(z=0)。 在自由空间的传播规律R2=R1+(z2-z1)=R1+L 傍轴球面波通过焦距为F的薄透镜时，其波前曲率半 径满足(应用牛顿公式) 球面波的传播规律可以统一写成 结论：具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由 其曲率半径R来描述，传播规律由变换矩阵确定。高斯光束q参数的变换规律ABCD公式 研究对象：高斯球面波非均匀的、曲率中心不断 改变的球面波 q参数在自由空间的传输规律q(z)=q0+z 通过薄透镜的变换 q参数的变换规律可统一表示为 结论：高斯光束经任何光学系统变换时服从ABCD 公式，由光学系统对傍轴光线的变换矩阵所决定。 优点：能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的 q参数值 (the complex radius of curvature) Transformation for the Gaussian beam-the ABCD law The great power of the ABCD law is that it enables us to trace the Gaussian beam parameter q(z) through a complicated sequence of lenslike elements. The beam radius R(z) and spot size (z) at any plane z can be recovered through the use of the following expression用q参数分析高斯光束的传输问题 已知：入射高斯光束腰斑半径为0 ，束腰与透 镜的距离为l，透镜的焦距为F。 求：通过透镜L后在与透镜相距lC处的高斯光束 参数C和RC。 思路1：思路2？ 在z=0处 q(0)=i 02 / 在A处（紧靠透镜的左方）qA=q(0)+l 在B处（紧靠透镜的右方）1/qB=1/qA-1/F 在C处 qC=qB+lC qC C、RC高斯光束腰斑的变换规律 若将C点取在像方束腰处，则有RC、 Re1/qC=0，可以求出像方束腰到透镜的距 离l和像方腰斑的大小0 。 当满足腰斑放大率几何光学之物和像特殊情况：当2.7 高斯光束的聚焦和准直 目的：单透镜对高斯光束的聚焦，使0 F， 0随l的增大而减小；当 ，当lF，如果lf，Jl=F， 0达到极大值， ，且 ，仅当 Ff、lF；取l=0，并使fF。 单透镜对高斯光束发散角的影响J对0为有限大小的高斯光束，无论F、l取什 么值，都不可能使0 ，也就不可能使0 0。J结论：用单个透镜将高斯光束转换成平面波 ，从原则上说是不可能的。Jl=F时， 0 达到极大值， 0 达到极小值， 0/ 0=f/F，此时，F愈大， 0 愈小。当 f/F=02/FRW双凹非稳腔 特例：非对称实共焦腔两个凹面镜在腔内有一个公共实焦点，构成一 个望远镜系统W凹凸非稳腔 特例：虚共焦型非稳腔凹面镜的实焦点与凸面镜的虚焦点相重合，公 共焦点在腔外，构成一个虚共焦望远镜系统The advantages of the unstable resonator concept, when the necessary conditions are met, then include: Large, and controllable, mode volume Controllable diffractive output coupling Good transverse mode discrimination Automatically collimated output beams Ease of alignment and adjustment Efficient power extraction Good far-field beam patterns本章总结 主要讨论了光腔模式问题。它是理解激光的相干性 、方向性、单色性等一系列重要特性、进行激光器件 的设计和装调的基础，也是研究和掌握激光基本技术 和应用的基础。 开放式光腔根据几何偏折损耗的高低，可以分为稳 定腔、非稳腔和临界腔。稳定腔的几何偏折损耗很低 ，绝大多数中、小功率器件都采用稳定腔。其模式理 论是腔模理论中比较成熟的部分。由于稳定腔应用广 泛，其模式理论具有最广泛、最重要的实践意义。 稳定腔模式理论是以共焦腔模的解析理论为基础的 。对方形镜共焦腔，镜面上场的分布可用厄米特-高 斯函数表示，对圆形镜共焦腔，镜面上场的分布可 用拉盖尔-高斯函数描述，并且整个腔内（以及腔外 ）空间中的场都可以表示为厄米特-高斯光束或拉盖 尔-高斯光束的形式。共焦腔振荡模的一系列基本特 征都可以解析地表示出来。在高斯光束传输规律的 基础上，建立了一般（非共焦的）稳定球面腔与共 焦腔之间的等价性，从而将共焦腔解析理论的结果 推广到一般稳定球面腔，解决了应用最广的这一大 类谐振腔的模式问题。 采用稳定球面腔的激光器所发出的激光， 以高斯光束的形式在空间传播。研究高斯光 束在空间的传输规律，以及光学系统对高斯 光束的变换规律，成为激光的理论和实际应 用中的重要问题。讨论了最简单和最基本的 情形，即高斯光束在自由空间中的传输和简 单透镜（或球面反射镜）系统对高斯光束的 变换，以及它的聚焦和准直问题。