第1章 随机事件及其概率本章学习目标了解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算理解概率的统计定义和古典定义，掌握概率的加法法则掌握条件概率的概念，掌握乘法公式、全概率公式理解事件独立性的定义，掌握独立试验序列概型的计算1.1 随机事件 1.1.1 随机试验与随机事件 1随机现象自然界与人类社会所能观察到的现象多种 多样，若从结果能否预测的角度来分，大致可 分为两类，即确定性现象和非确定性现象随 机现象. 确定性现象 在一定条件下必然发生或必然不发 生的现象，称为确定性现象例如，水在标准 大气压下加热到100必然沸腾；上抛的石子 必然落下；同性电荷必然互斥；函数在间断点 处不存在导数等都为确定性现象. 确定性现象的特征：条件完全决定结果 随机现象（偶然现象） 在一定条件下可能发 生也可能不发生的现象称为随机现象例如 ，在相同条件下掷一枚均匀的硬币,落地后可 能正面（指币值面）朝上，也可能反面朝上 ；用同一门炮向同一目标发射同一种炮弹多 发，弹着点会各不相同；抛掷一枚质地均匀 的骰子,观察出现的点数；出生的婴儿可能是 男,也可能是女；明天的天气可能是晴, 也可 能是多云或雨；过马路交叉口时,可能遇上各 种颜色的交通指挥灯；从一批含有正品和次 品的产品中任意抽取一件产品，可能抽到正 品，也可能抽到次品等都为随机现象. 随机现象的特征：条件不能完全决定结果 2随机试验 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随 机试验. （1） 可以在相同条件下重复地进行； （2） 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先 明确试验的所有可能结果； （3） 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会 出现，但一次试验中必有且仅有其中一个结果出 现. 我们将通过随机试验来研究随机现象，随机试验 又可简称为试验，通常用字母表示， ：抛一枚质地均匀的硬币,观察出现正面还 是反面； ：掷一枚质地均匀的骰子,观察出现的点数； ：从一批产品中,任取三件,记录出现正品的 件数； ：记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车 人数； ：射击一目标，直到击中为止，记录射击次 数； ：从一批灯泡中任取一只,测试其寿命 3随机事件与样本空间 随机事件 随机试验的一种结果称为该随机 试验的随机事件，简称为事件，通常用字母 、 、 等表示 基本事件（样本点） 随机试验中的每一个 基本结果，称为该随机试验的基本事件，或 称为样本点，记为 样本空间 基本事件的全体，称为试验 的 样本空间，记为 样本空间可分为二种类型： （1）有限样本空间：样本空间中的样本点数 是有限的，如 、 、 ； （2）无限样本空间：样本空间中的样本点数 是无限的，如 、 、 无限样本空间又可分为可列样本空间，如 、 ；不可列样本空间，如 由此可见，随机事件是由一个或多个样本点 组成的，所以随机事件是样本空间 的某个 子集 随机事件可以分为以下几种类型： 基本事件 只含一个样本点的随机事件为基 本事件例如， 中，“出现1点”，“出现2点” ，“出现6点”，都是基本事件 复合事件 由两个或两个以上的样本点组成 的事件为复合事件，例如， 中，“点数小于5” 、“点数为偶数”，都是复合事件 必然事件 由全体样本点组成的事件，在每 次试验中必然发生的，称为必然事件，也用表示例如， 中“点数小于7”就是必然事 件 不可能事件 不包含任何样本点，它作为样 本空间的子集，在每次试验中决不会发生的 ，称为不可能事件，记为 4随机事件的发生因为随机事件是样本空间 的子集，所 以随机事件发生，当且仅当随机事件所包含 的样本点之一在试验中出现例如，在试验 中，设事件 =“朝上的那一 面的点数为奇数”=1，3，5，若试验中3出 现，即朝上的那一面的点数是3，则称事件发生；反之，若事件 发生，则意味着1、 3、5之一必然出现总之，随机事件是“一触 即发”1.1.2 事件之间的关系及运算一、事件的运算 1.事件的和 事件 与事件 至少有一个发生就 发生的事件，即 与 的样本点合在一起组成 的事件，称为 与 的和事件，记为 或 + （如图1.1.1中阴影部分）图1.1.1 图1.1.2 类似地，事件 中至少有一个发 生就发生的事件称为事件 的和事件， 记为 或 例1 设试验 为掷一颗骰子， 表示 出现 点，令 表示出现奇数点事件，则，即出现奇数点事件是出现点这三个事件的和事件 2事件的差 事件 发生而事件 不发生的事件 ，即属于 而不属于 的样本点所组成的事件 ，称为 与 的差，记为 - （如图1.1.2） 事件的积 事件 与事件 同时发生时才发 生的事件，即 与 的公共样本点所组成的事件 ，称为 与 的积事件，记为 或 （如图1.1.3）类似地，事件 同时发生才发生的事件 称为的积事件，记为 或 显然有 图1.1.4 图1.1.3 图1. 图1. 二、事件的关系 1包含 若事件 发生必然导致事件 发生， 即 的样本点都在 中，则称事件 包含于 或 包含 ，记为 或 （如图1.1.4） 2相等 若 且 ，则称 与 相等， 记为 = 3互斥 若事件 与 事件不能同时发生，即= ，则称 与 是互斥的或互不相容（如 图1.1.5） 4互逆 如果在一次试验中，事件 与事件 必有一个且仅有一个发生，即 + = 且 = ， 则称 与 互为逆事件，或称 与 是对立事件， 记为 = 或 = （如图1.1.6）显然， = - 由定义可知，对立事件必为互斥事件，其逆 不真，即互斥事件不一定是对立事件+-三、事件的运算规律 1加法和乘法的交换律 + = + ， = 2加法和乘法的结合律 + + =（ + ）+ = +（ + ）3乘法对加法的分配律4加法对乘法的分配律 5反演律（德摩根（De Morgan）律） 一般地，对有限个及可列个事件也有，及， 例2 若 表示第 个射手击中目标 ， 试描述 ， ， 解 = “三个射手都击中目标”； =“三个射手没有都击中目标”； “至少有一个射手击中目标”