第二章 测试系统的特性u测试系统概述u测试系统的静态特性u测试系统的动态特性一测试系统 1、定义：回顾一下测试系统的组成指示仪（模拟）指示仪传感器放大电源记录仪（数字）PC单片机非电量电信号被测量测试装置输入x输出y这样， 系统的特性包括：a）输入特性；b）传递特性c）输出特性可以简单的表示成： 静态特性：被测量不随时间变化或缓慢变化时，y与x 之间的关 系，用代数方程表示。 动态特性：被测量随时间迅速变化， y与x 之间的关系，微分方 程表示静态特性动态特性2-1测试系统的静态特性输入x与输出y不随时间变化时，可以用代数方程 y=Sx表示系统的静态特性，称为静态特性方程 。 例：称不同重量的物体时，弹簧秤表现出的特性 ，就是测试系统（弹簧秤）的静态特性。因为 物体的重量是恒定的，不随时间变化的。一、静态特性指标1、灵敏度：灵敏度是指测试装置在静态测量时，输出增量y 与输入增量x之比，即Sy/x 线性装置的灵敏度S为常数，是输入与输出关系直线的斜率。 非线性装置的灵敏度S是一个变量，输入量不同，灵敏度就不 同，通常用拟合直线的斜率表示装置的平均灵敏度。y0x拟合 曲线实测 曲线灵敏度的量纲由输入和输出的量纲决定。若输出 和输入的量纲相同，则称放大倍数。应该注意的是，装置的灵敏度越高，就越容 易受外界干扰的影响，即装置的稳定性越差， 同时测量范围越小。F还是以弹簧为例：F=KXX=(1/K)F, 这里，x是输出量，F是 输入量。S=1/K=a/b, 这里a,b是由K决定的 常数2、线性度：理想的测试装置静态特性曲线是条直线，但实际上大 多数测试装置的静态特性曲线是非线性的。实际特性曲线与拟合直 线偏离的程度称为线性度，用线性误差表示为 LLm/A100 Lm：实际曲线与拟合直线的最大偏差，实际曲线也被称为标定曲线 A：输出量程 应当注意，量程越小，线性化带来的误差越小，因此要求线性化误 差小的场 合可以采取分段线性化。 yymxA0xm拟合 曲线标定 曲线Lm3、回差：实际测试装置在输入量由小增大和由大减小的测试过程中，对于同一输入量 会得到大小不等的输出量，在全部测量范围内，这个差别的最大值与标称输出范 围之比称回差。即 hhm/ym100 , hm:正反行程的最大差值，ym：标称输出范围 回差是由迟滞现象产生的，即由于装置内部的弹性元件、磁性元件的滞后特性以及机械部 分的摩擦、间隙、灰尘积塞等原因造成的。 ymyhmxmx 04、漂移：指输入量不变时，经过一定的时间后输出量产生的变化。由于温度变 化而产生的漂移称温漂。5、分辨力：指仪器可能检测出的输入信号最小变化量。分辨力除以满量程称分 辨率。2-2测试系统的动态特性 动态测量时，被测信号随时间迅速变化，系统特性就必须用微分方程描述。通常我们希望测试系统为理想的线性时不变系统。一、线性系统输入的加权得到输出的加权；假设：系统x1(t )Y1(t)系统x2(t )Y2(t)系统ax1(t)+bx2(t )Y(t)Y(t)= aY1(t) +bY2(t)判断：(1)y=2x+3(2)y=2x(3)y=x2解：（1） x1(t)Y1(t)=2x1(t)+3x2(t)Y2(t)=2x2(t)+33 x1(t)+4 x2(t)Y(t)=23 x1(t)+4 x2(t)+3= 6x1(t)+8 x2(t)+3如果为线性系统，其输出应为： Y3(t)=3y1(t)+4y2(t)= 6x1(t)+9+8 x2(t)+12 =6x1(t)+8 x2(t)+21Y(t)不等于Y3(t),所以系统为非线性系统x2(t)Y2(t)=2x2(t)Y1(t)=2x1(t)（2）x1(t)3 x1(t)+4 x2(t)Y(t)=23 x1(t)+4 x2(t)= 6x1(t)+8x2(t)=3y1(t)+4y2(t)所以该系统为线性系统(3) 很明显是非线性系统时不变系统是指输入的延时得到输出的延时。 时不变线性系统满足叠加性，比例特性，频率保持性 。 频率保持性指时不变线性系统稳态输出信号频率与输入信号的频率 相同。如果系统处于线性工作范围内，输入信号频率已知，则输 出信号与输入信号有相同的频率分量。如果输出信号中出现与输 入信号频率不同的分量，说明系统中存在着非线性环节或超出了 系统线性工作范围。这就是说加于常系数线性系统的各输入分量所引 起的输出是互不影响的。因此，分析常系数线性系统 在复杂输入作用下的总输出时，可以先将复杂的输入 量分解成许多简单的输入分量，求出每个简单输入分 量得输出，再对这些输出求和。二、系统传递特性的描述用 ：any(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(0)(t)=bmx(m)(t)+ bm-1x(m1)(t)+b1x(1)(t)+b0x(0)(t) 微分方程来描述系统的传递特性 。系统为线性时不变系统时，该方程为常系数微分方程。 从系统的微分方程中需要掌握： nm,且n代表系统微分方程的阶次； 比如：y(t)=kx(t)是零阶系统；（代数方程） a1y/+a0y=b0x(t)是一阶系统 a2y/ +a1y/+a0y=b0x(t)是二阶系统 通常系统中有n个储能元件，便是n阶系统。 an，an-1a0和bm，bm-1b0是由系统本身结构特性（物理 元件的参数）唯一确定的常数。若初始条件为零，也即x(0)=y(0)=0，而且x(0)与y(0 的各阶导数也为零，对该方程两边作拉普拉斯变换，上式定义为系统的传递函数。传递函数的特点：1）H(S)与输入量无关；2）不同的物理系统可以有相同的传递函数。 Y(s)y/(t)s Y(s)y(t)y/(t)s2 Y(s)得到：式22各种具体的物理系统，只 要具有相同的微分方程， 其传递函数也就相同，即 同一个传递函数可表示不 同的物理系统。例如，液 柱温度计和简单的RC低通 滤波器同是一阶系统，具 有相同的传递函数；动图 式电表、振动子、弹簧 质量阻尼系统和LRC振 荡电路都是二阶系统，具 有相同的传递函数。3）传递函数与微分方程是等价的。由于拉普拉斯变换是一一对应变换，不丢失 任何信息，故传递函数与微分方程完全等 价。 Y(S)=H(S). X(S)。如果已知 H(S),和输入x(t) ，可以先求X(S)，由上式求出Y(S），然后 通过拉普拉斯反变换，求出y(t),这样就避开 了求解微分方程的难题。三、频率响应若系统是稳定的，那么将sj代入式22，得H(j)称为系统的频率响应函数。注意：这两个变换存在的条件不同。由线性时不变系统(LTI)的频率保持特性可知：X=sint LTI系统Y=Asin(t+)H(j)给出了不同频率的成分通过系统时的A(), ();H（j）= A（）ej(), 即H(j)是的函数同时，H（j）的复数形式可以表示为： H（j）= P（）+ jQ（），A()表示输出与输入的幅值比随频率变化的关系，称为系统的幅频特性, 表 现了不同频率成分通过系统的放大倍数。()表示输出与输入的相位差随频率变化的关系，称为系统的相频特性， 表现了不同频率成分通过系统的相位角变化（延时）。用频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过实验 来求得。实验求得频率响应函数的原理，比较简单明了： 依次用不同频率i的简谐信号去激励被测系统，同时测出 激励和系统的稳态输出的幅值 Xi、Yi和相位差i。这样对于 某个i，便有了一组Yi/Xi=Ai和i，全部的Ai-i和i-i， i=1,2,3,便可表达系统的频率响应函数。 需要特别指出，频率响应函数是描述系统的简谐输人和相 应的稳态输出的关系。因此，在测量系统频率响应函数时 ，应当在系统响应达到稳态阶段时才进行测量。 尽管频率响应函数是对简谐激励而言的，但如前所述，任 何信号都可分解成简谐信号的叠加。因而在任何复杂信号 输人下，系统频率特性也是适用的。这时，幅频、相频特 性分别表征系统对输人信号中各个频率分量幅值的缩放能 力和相位角前后移动的能力。 31.频率响应的图形表示法 幅频特性曲线和相频特性曲线。以为自变量，以A（）和（）为因 变量画出曲线。它表示输出与输入的幅值比和相位差随频率的变化关系。波特图。对自变量取对数lg作为横坐标，以20lgA()和()作纵坐标， 画出的曲线。它把轴按对数进行了压缩，便于对较宽范围的信号进行研究 ，观察起来一目了然，绘制容易，使用方便。奈奎斯特图。将H（j）的虚部和实部分别作为纵横坐标画出的图形。它 反映了频率变化过程中系统过程中系统响应H（j）的变化。（1）一阶系统的频率响应对上式两边取拉氏变换得 令 s=j,代入上式，得频率响应函数 32.常见的测试装置的频率响应K：刚度C：阻尼系数X(t) 力y(t)位 移KC由力平衡可得：Cy/+K.y=x(t)令S1/k;C/k; 则左式为：（）H（j）arctg（）一阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线如上图所示。可见：幅值比A（）随的增大而减小。A（）和（）的变化表示输出与 输入之间的差异，称为稳态响应动态误差。系统的工作频率范围取决于时间常数。在较小时，幅值和相位得失 真都较小。当一定时，越小，测试系统的工作频率范围越宽。 因此为了减小一阶测试系统得稳态响应动态误差，增大工作频率，应尽可能 采用时间常数小的测试系统。一阶系统的频率响应曲线例：用传递函数为的装置测量信号x(t)=0.6sin10t+0.6sin(100t-30), 试求稳态输出y(t);K：刚度C：阻尼系数X(t) 力y(t)位移KCM（2）二阶系统的频率响应二阶系统中存在两个储能元 件，故需能量在两个储能元 件之间先达到动平衡，然后 才会输出稳态响应；例：如右图所示的质量弹 簧阻尼系统；令对二阶系统而言，主要的动态特性参数 是系统固有频率n和阻尼系数。固有频 率为系统幅频特性曲线峰值点对应的频 率，阻尼系数则可以由峰值点附近的两 个半功率点的频率计算可见：频率响应和阻尼率有关。从幅频特性曲线可知：当 0.7时，幅值比A（）1，称为过阻尼；当 0.7时，在/0 1处产生谐振，称为欠阻尼；谐振频率：对于欠阻尼系统， A（）有峰值，峰值对应的频率， 称 为谐振频率,低于固有频率n。当0时， A（），出现共振，称为无阻尼，此时， 0。二阶系统的频率响应曲线从相频特性曲线可知：当 0时，在/n1处，从0-180，（）的变化情况与阻尼率有 关，但在/n1时，对所有的来讲都有（）-90。频率响应与n有关。系统的频率响应不但随阻尼率而变，同时随固有 角频率而不同。固有角频率n越高，稳态动误差小的工作频率范围越宽， 反之越窄。测试系统在典型输入下的响应1.单位脉冲响应若装置的输人为单位脉冲（t），因单位脉冲（t）的拉普拉 斯变换为1，因此装置的输出y（t）的拉普拉斯变换必将是H（ s），即Y（s）=H（s），或y（t）=L-1H（S），并可以记为 h（t），常称它为装置的脉冲响应函数或权函数。脉冲响应函 数可视为系统特性的时域描述。 因为一阶系统的传递函数为 ：若系统灵敏度S=1，则响应速度：工程中采用时间较短的脉冲信号近似单位脉冲。至此，系统特性在时域、频域和复数域可分别用脉冲响应函数h （t）、频率响应函数H（）和传递函数H（s）来描述。 h（t）和传递函数H（s）是一对拉普拉斯变换对；h（t）和频率 响应函数H()又是一对博里叶变换对。2.阶跃响应若系统的输入信号为单位阶跃信号，即x(t)=u(t)，则X(s)=1/s ，此时Y(s)=H(s)/s，有y（t）=L-1H(s