管 理 统 计 学第一章 概率论基础知识 1.随机实验、样本空间、概率与条件概率一、一些基本概念1、随机实验（Random Experiment）2、基本事件（Elementary Event）3、样本空间（Sample Space）4、随机事件（Random Event）5、相容事件（Mutually Inclusive Events）与不相容事件 （ Mutually Exclusive Events ）6、概率（Probability）7、概率运算的主要性质（Properties of Probability）（1）设A是A的对立事件，则 P（A）=1-P（A）。（2）对任意两个事件A 和 B ，有P（AB）= P（A）+ P（B）- P（AB）（3）若事件AB，则 P（A） P（B）。8、等概率随机实验（Equally Likely Outcomes）满足：1、实验的基本事件个数有限；2、基本事件出现的概率相等。如：投均匀硬币；投骰子等等二、条件概率与概率乘法定理1、条件概率（ Conditional Probability ）对样本空间S中的两个事件A和B，若P（A）0，则条件 概率2、概率乘法公式（定理）（Multiplication Theorem）对样本空间中任意两个事件A、B，有P（AB）=P（B A）P（A）= P（A B）P（B）3、全概率公式（The Law of Total Probability）若A1，A2， An是对样本空间S的一个划分，则对S中 的任意事件B，有全概率公式三、贝叶斯公式（BayesRule）1、贝叶斯公式其中：A1，A2， An是对样本空间S的一个划分， Ak是 其中任意一个事件。四、相互独立的随机事件的概率公式1、相互独立定义对任意两个事件A、B，且P（B）0, 若P(A|B)=P(A), 则称事件A与B是相互独立的.注意: 独立与不相容的区别.若两个事件A, B相互独立, 则有P(A|B)=P(A), P（B）0;P(B|A)=P(B), P（A）0;P(AB)=P(A|B)P(B)=P(A)P(B) 2、随机变量与概率分布的基本概念一、离散型随机变量1、随机变量（Random Variable）2、离散型随机变量（Discrete Random Variable）3、离散型随机变量的概率4、离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）5、离散型随机变量的累积概率（Cumulative Probability）P（X x）的概率称为随机变量X的累积概率。6、离散型随机变量的累积概率分布（Cumulative Probability Distribution ）二、连续型随机变量1、连续型随机变量（ Continuous Random Variable ）该随机变量的取值域为一个连续区间。2、连续型随机变量的概率连续型随机变量只在区间上取值，其概率值才可能为正值：0 0，有若对某个固定的i，P（X= i）0，有连续型：12、相互独立的随机变量离散型： 若对所有的i，j，有P（X=i / Y= j）=P（X=i）或 P（X=i，Y= j）=P（X=i）P（Y=j） 则称随机变量X与Y是相互独立的连续型：定义1，若连续型随机变量X与Y的条件密度分布满足：定义2，若连续型随机变量X与Y的条件密度分布满足：则称X与Y是相互独立的随机变量。离散型和连续型的随机变量相互独立的条件和定义，可用 累积概率统一表达为： 3. 典型概率分布1、两点分布（0-1分布）如 投一枚硬币，出现正面概率是p，出现反面概率是1-p，可以表示为 P（X=1）=p， P（X=0）=1-p若X 服从两点分布，则记 X B（1，p）。2、二项分布（Binomial Distribution）如抛 n 次硬币（又称贝努利实验）, 正面出现k次（0 k n） 的概率为二项分布记为：X B（n，p）。3、伯松分布（Poisson Distribution）设随机变量 X 的取值为1，2，若X = k 的概率 为 ， k=1，2，则 X 服从伯松分布。随机变量X的均值 ，即E（X）= ，方差也是，即 D（X）= 。注：当 n 很大（如n 10），且 p 很小（如p 0.1）时, 有 其中, = n p4、均匀分布（Uniform Distribution）概率分布函数可以写成：概率密度函数可以写为：f（x）abx5、正态分布（Normal Distribution）概率密度函数为：其中，x的取值为（-，+）， 为均值，2为方差。累积概率分布函数为：当 =0，2=1时，正态分布N（0，1）称为标准正态分布。对于N（ ，2 ），做变换z = x- / ，则 z 服从N（0，1）。