初中数学中的分类思想方法 北京市团结湖三中 付长虹 2010年2月28日所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果 ，得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.简单地说，把研究的对象，按照一定的标准，划分成为几种情况或几个部分，逐一进行研究和解决的方法叫做 分类讨论法。一、分类思想方法定义与特点分类讨论首先是分类，没有正确的分类，就不可能有正确的讨论，而分类本身是一种逻辑上的划分。划分是揭示概念外延的逻辑方法，逻辑划分原则是进行逻辑划分的依据，也是借以进行分类的标准。因此，弄清划分的依据于规则是正确进行分类讨论的基础。 分类讨论法的理论依据：逻辑划分原则二、分类讨论法的理论依据二、分类讨论法的理论依据 l逻辑划分原则是：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个 划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必 须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级 进行，不可以越级。l划分的规则： 1 .划分后各个子项应当互不相容（不重）。 2.划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。3.每次划分都应按同一标准。规则1：划分后各个子项应当互不相容（不重）。从集合的角度看，划分后的子集两两交集均为空集。例如：矩形、菱形、正方形都是平行四边形，它们的关系如图所示如果把平行四边形分为矩形、菱形、正方形三类，这 其中就有三处重叠（交集不空），不符合规则1。划分规则举例：规则2：划分后各个子项必须穷尽母项（不漏）。从集合的角度看，划分后所有的子集的并集应该等于是全集。例如：自然数可以分为奇数和偶数两类。 如果把自然数分为素数与合数两类，就漏掉了自然 数1，因为1既不是素数也不是合数。从集合的角度看，划分后两个的子集的并不等于全集 ，因此，这样分类不符合规则2。 划分规则举例：规则3：每次划分都应按同一标准。分类的标准直接影响到分类的结果，如果在一次分类中标准是变化的，那么这个分类就失去了意义。例如：三角形可以如下分类锐角有两边相等的 直角 三边都不等的 钝角按边分 按角分如果把三角形分为等边三角形、等腰三角形和直角三 角形，就没有按同一标准进行划分，不符合规则3。 划分规则举例：三、分类思想方法的作用l可化繁就简，化难为易。l可使思维有序、有条理。l可使思维全面、缜密。人教版3.2解一元一次方程（一）中的例4如下： 例4 根据下面的两种移动电话计费动电话计费 方式表，考虑虑下 列问题问题 。一个月内在本地通话200分钟和350分钟，按方 式一需交费多少元？按方式二呢？ 对于某个本地通话时间，会出现按两种计费方式 一样多吗？ 引申：怎样选择计费的方式？作用举例: 化繁就简，化难为易。25（5分）如图图，OC是AOB的平分线线，且AOD90 （1）图图中COD的余角是 ； （2）如果COD= ；求BOD的度数.，朝阳区0910年七上期末考试作用举例:使思维有序、有条理23.在ABC中，AB=AC,点D是直线线BC上的一点（不与点 B、C重合），以AD为为一边边在AD的右侧侧作ADE，使AD=AE, DAE=BAC,连连接CE. (1)如图图，点D在线线段BC上，若 BAC=90，则则BCE 等于 度； (2)设设BAC=，BCE=. 如图图，若点D在线线段BC上移动动，则则与之间间有怎 样样的数量关系？请说请说 明理由； 若点D在直线线BC上移动动，则则与之间间有怎样样的数 量关系？请请直接写出你的结论结论 .(1)(2)朝阳区0910年八上期末考试作用举例当点D在射线BC上时，+=180； 当点D在射线BC的反向延长线上时，=作用举例：使思维全面、缜密25.如图图，在直角坐标标系中，点A的坐标为标为 (1,0)，点B在 y轴轴正半轴轴上，且AOB是等腰直角三角形，点C与点A关 于y轴对轴对 称，过过点C的一条直线绕线绕 点C旋转转，交y轴轴于点D ，交直线线AB于点P（x,y），且点P在第二象限内. (1)求B点坐标标及直线线AB的解析式； (2)设设BPD的面积为积为 S，试试用x表示BPD的面积积S.朝阳区0910年八上期末考试作用举例ABOxyCDP点P在直线AB上，则P(x，-x+1). 设过P、C两点的直线的解析式为 y=kx+b. C(-1,0)在直线y=kx+b上， -k+b=0.k=b, y=bx+b. 点P(x，-x+1)在直线y=bx+b上，bx+b=-x+1,解得b= .点D的坐标为（0， ）. 作用举例ABOxyCD PABOxyCDP点D的坐标为（0， )作用举例(1) 确定同一分类标准；(2) 恰当地把对象整体进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；(3) 逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；(4) 综合概括小结，归纳得出问题结论确定分类标准，是分类讨论的重要一环。四、分类讨论思想方法的步骤：五、隐含分类思想方法的教学内容1、数与式有理数的分类相反数绝对值有理数的大小比较有理数的运算法则（1）有理数（2）实数平方根、立方根无理数的形式 （3）式 式的分类 分式的加减实数的分类二次根式的化简五、隐含分类思想方法的教学内容2、方程与不等式方程的分类不等式的性质分段函数一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质不等式组的解集3、函数一元二次方程的解五、隐含分类思想方法的教学内容4、图形的认识线的分类面的分类垂线性质三角形按边、按角的分类角的分类图形的分类三线八角三角形高的位置三角形外心的位置三角形全等的条件等腰三角形边和角计算勾股定理的应用四边形的分类弦、弧的分类与圆有关的位置关系圆周角定理五、隐含分类思想方法的教学内容5、图形与变换相似三角形的对应关系列举法6、统计与概率六、初中阶段分类思想方法教学 步骤： 一、抓准时机，渗透分类的思想方法。三、深化提高， 应用分类的思想方法研究问题。二、启发诱导， 揭示分类思想方法的本质。1. 在概念的学习中，渗透分类的思想。 2.在法则的探究中，渗透分类的方法 。 3.在图形的求解中，渗透分类的意识。1.根据问题的需要，进行分类。2.分类要有明确的标准。 1.根据字母的取值范围分类 2.根据几何图形的位置关系分类六、初中阶段分类思想方法教学 策略：1、根据字母的取值范围分类二次根式的化简方程的分类不等式的性质一元二次方程的解一次函数、反比例函数、二次函数的图像性质3策略举例4、5.6. 抛物线ya2c与y轴交点到原点的距离为3， 且过点（1，5）,求这个函数的解析式 （y2x23或y8x23） 策略举例六、初中阶段分类思想方法教学 策略：2、根据几何图形的位置关系分类 垂线性质三线八角三角形高的位置三角形外心的位置三角形全等的条件等腰三角形边和角计算勾股定理的应用四边形的分类与圆有关的位置关系圆周角定理相似三角形的对应关系1.2.3.策略举例4.5.策略举例已知O的半径为5cm，AB、CD是O的弦， 且AB=8cm，CD=6cm，ABCD，则AB与 CD之间的距离为_（1cm或7cm）已知O1和O2相切于点P，半径分别为别为 1cm 和3cm则则O1和O2的圆圆心距为为_（2cm或4cm）6.7.策略举例8.9.策略举例七、分类思想方法在新课探究中的应用举例 探究三角形全等的条件 问题 ：探究三角形全等的条件 标准：1、元素个数；2、元素内容、位置 分类：6大类，14小类 研究：证明 归纳：（1）判断两个三角形是否全等至少 需要三个条件；（2）能够判断两个 三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS。 八、分类思想方法在中考综合题中的应用举例已知关于的一元二次方程 有实数根，为 正整数. （1）求k的值； （2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函 数 的图象向下平移8个单位，求平移后 的图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到 一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时， b的取值范 围. 09年北京中考第23题09年北京中考第23题根据字母的范围 找到符合要求的 类别，有三类09年北京中考第23题根据函数图像不同的 位置分类，有两种不 同的位置09年湖北黄冈第20题(3)当0t 时,PQF的面积是否总为 定值?若 是, 求出此定值,若不是,请说 明理由; (4)当t为何值时 ,PQF为等腰三角形?请写出解 答 过程09年湖北黄冈第20题09年湖北黄冈第20题09年湖北黄冈第20题09年湖北黄冈第20题根据等腰三角形的腰的位 置分类，有三类情况07年北京中考第21题根据直角三角形的位置分 类，有两种情况