第 二 章矩 阵 及 其 运 算第一节 矩阵引 言 矩阵是线性代数的一个最基本的概念，也是数学的最基 本的一个工具。它在二十世纪得到飞速发展，成为在物理学 、生物学、地理学、经济学等中有大量应用的数学分支，现 在矩阵比行列式在数学中占有更重要的位置。矩阵这个词是 英国数学家西勒维斯特在1850年首先使用的，但历史非常久 远，可追溯到东汉初年（公元一世纪）成书的九章算术 ，其方程章第一题的方程实质上就是一个矩阵，所用的解法 就是矩阵的初等变换。矩阵的运算是线性代数的基本内容。1849年英国数学家 凯莱介绍了可逆方阵对乘法成群。凯莱 毕业于剑桥三 一学院，他与西勒维斯特长期合作作了大量的开创性的工作 创立了矩阵论；与维尔斯特拉斯一起创立了代数型理论，奠 定了代数不变量的理论基础；他对几何学的统一也有重大贡 献，一生发表近千篇论文。本章首先引入矩阵概念，继而介绍矩阵的基本运算和可 逆阵的概念，最后介绍简化矩阵运算的技巧矩阵分块法 。1. 线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵概念的引入对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2. 某航空公司在A,B,C,D四 城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的 航班图,如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接 A 与 B.这就是矩阵四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中 表示有航班.为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.二、矩阵的定义由 个数 排成的 行 列的数表称为 矩阵.简称 矩阵.记作1、定义简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.广义主对角线广义副对角线例如是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.例如是一个3 阶复方阵.注：几种特殊矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶 方阵.也可记作（1）方阵（2）行矩阵和列矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵对角矩阵(或 对角阵对角阵）.形如 的方阵,不全为0（3）对角阵记作元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 .注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如下三角阵上三角阵三角(方)阵（4）零矩阵（5）三角阵称为单位矩阵（或单位阵）.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为12、矩阵相等例如为同型矩阵.（6）单位阵（1）同型矩阵两个矩阵 为同型矩阵,并且对应 元素相等,即则称矩阵 相等,记作不一样！矩阵是一个数表, 而行列式 是一个实数！看一些矩阵的应用例子（2）矩阵相等例1间的关系式线性变换.系数矩阵可利用矩阵理论研究线性变换问题一一对应注：一些常见的线性变换与矩阵之间存在着的一一对应关系.若线性变换为称之为恒等变换.对应单位阵.看几个具体的线性变换的例子（1）恒等变换对应这是一个以原点为中心 旋转 角的旋转变换.对角(方)阵（2）旋转变换（3）例2 设解三、小结(1)矩阵的概念(2) 特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵对角矩阵;零矩阵.第二节 矩阵的运算1. 加、减法 设矩阵与, 定义显然 A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C)A + O = O + A = A A A = O负矩阵记作 A , 即的负矩阵为同型阵一、线性运算!即：说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.例如（1）、定义2. 数乘简称为数乘.（2）、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设 为 矩阵， 为数）（4）二、矩阵与矩阵的乘法与举例=即有例设例2并把此乘积记作设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中（）、定义故解注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.例 设则呵呵，发现两个现象！显然这些正是矩阵与数的不同矩阵乘法不满足交换律有非零的零因子但也有例外，比如设则有但是这又是矩阵 与数的不同请记住：1. 矩阵乘法不满足交换律； 2. 不满足消去律； 3. 有非零的零因子。又如不满足消去律乘法满足的运算规律 ?!（）、矩阵乘法的运算规律（其中 为数）;若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即并且 注意 矩阵不满足交换律，即：成立的条件 ?AB=BA!例3 计算下列乘积：解解=( (）解例4由此归纳出用数学归纳法证明当 时，显然成立.假设 时成立，则 时，所以对于任意的 都有注：书本36页37页还讲了交换阵和矩阵乘法的一 个实际例子及用乘法来表示线性方程组的便利性。线性变换把变量X 变为Y 其系数矩阵A与B作相应乘法（2）（1）（1）定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .例、转置矩阵三、矩阵的其它运算（2）转置矩阵的运算性质例5 已知解法1解法22、方阵的行列式定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或运算性质定义 若方阵A 的行列式不为零, 则称A为非奇异(方)阵, 否则称为奇异(方)阵.3、对称阵与伴随矩阵定义设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明（1）对称阵是对称阵!例6 设列矩阵 满足 证明例7 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵 与反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.1、定义行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵称为矩阵 的伴随矩阵.（2）伴随矩阵代数余子式的顺序!例3 求二阶矩阵的伴随矩阵. d - ca- b例如乘积阵的第2行元素分别为0A 00A 重要公式2、性质若（2）运算性质（设 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:4、共轭矩阵 （1）定义：当 为复矩阵时，用 表示 的共轭复数，记 ， 称为 的共轭矩阵. 五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式共轭矩阵（3）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 进行加法运算.注意：（2）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算 不同.