第三章 集合与关系3-9 集合的划分和覆盖 授课人：李朔 Email:chn.nj.lsgmail.com1一、集合的覆盖和划分n 在集合的讨论中，常须把一个集合分成若干子集加以讨论 ，这就是集的划分问题。如一个班男、女生。一个学院不 同专业。n P128 定义3-9.1 若把一个集合A分成若干个称为分块的非空子集，使 得A中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合 称为A的一个覆盖。n上述定义与下面定义是等价。 n 令A为给定非空集合，S =S1, S2, , Sm,其中SiA且Si (i=1, 2, , m) 且 则称S是集合A的一个覆盖。 *如果A中每个元素属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的 集叫做A的一个划分（或分划）。即：若有Si Sj = (ij)，则称S为 A的一个划分。2一、集合的覆盖和划分例 设 A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合：S=a,b,b,cQ=a,a,b,a,cD=a,b,cG=a,b,cE=a,b,cF=a,a,c试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪 些集合既不是覆盖，也不是划分？3一、集合的覆盖和划分例 设 A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合：S=a,b,b,cQ=a,a,b,a,cD=a,b,cG=a,b,cE=a,b,cF=a,a,c试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪 些集合既不是覆盖，也不是划分？ 解：S和Q是A的覆盖，但不是划分；D、G和E是A的覆盖，也是划分；F不是A的覆盖，也不是划分。4一、集合的覆盖和划分例 A=a, b, c 则 S=a, b,b, c、Q=a,a, b,a, c都 为A的覆盖，而D=a,b,c、G=a,b,c、 E=a,b,c为A的划分。而且称G为A的最小 划分（由集合的全部元素组成），而E为A的最大 划分（每个元素构成一个单元素分块）。*划分必是覆盖，覆盖未必是划分 5一、集合的覆盖和划分例3 设A=1,2,3，试确定A的所有划分。解：有一个划分块的划分是：1,2,3有两个划分块的划分是：1,2,32,1,33,1,2有三个划分块的划分是：1,2,3上图是A的所有划分的示意图。(a)表示有一个划分块的划分1,2,3。 (b)、(c)和(d)表示有两个划分块的划分1,2,3、2,1,3和 3,1,2。(e) 表示有三个划分块的划分1,2,3。 *给定一个集合A，它的划分和覆盖都不是唯一的。6一、集合的覆盖和划分例：4个元素的集合A共有多少个不同的划分。解：A的最大(所有元素），最小划分（各元素单列）都各 有一个把4个元素分成1，3两部分，有4种可能；把4个元素分成2，2两部分，有3种可能；把4个元素分成1，1，2三部分，有6种可能。故总共有1136415种。7二、交叉划分n P129 定义3-9.2 若A1, A2, , Ar与B1, B2, , Bs 是同一集合A的两种划分，则其中所有AiBj 所组成的 集，称为原来两种划分的交叉划分。 n 例 P129 所有生物 n 定理3-9.1 设A1, A2, , Ar与B1, B2, , Bs是同一 集合X上的两种划分，则其交叉划分也是原集合的一种划 分。8三、划分的加细 n 定义3-9.3 对集合X上的任两种划分A1, A2, , Ar与B1, B2, , Bs，若对于每一个Aj均有Bk，使得Aj Bk，则 A1, A2, , , Ar称为B1, B2,Bs的加细。n 定理3.9.2 任何两种划分的交叉划分，都是原划分的一种加 细。证明： 设A1, A2, , Ar和B1, B2, , Bs的交叉划分为T，对T 中的任意元素Aj Bj，必有Aj Bj Aj , Aj Bj Bj 故T必是原划分的加细。9本课小结n覆盖 n划分 n交叉划分 n划分的加细10作业nP130 （2）11