2.4.12.4.1平面向量数量平面向量数量 积的积的物理背景及其含义物理背景及其含义普通高中课程标准实验教科书（人教普通高中课程标准实验教科书（人教A A版）版）数学必修数学必修4 4说课提纲一、教材内容分析二、教学目标设计三、课堂结构设计四、教学媒体设计五、教学过程设计六、教学评价设计1 1、地位、作用及学情分、地位、作用及学情分 析析平面向量是继向量的线性运算之后的又一重要 运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物 理等学科中应用广泛。本节内容教材共两课时，本 节是第一课时，主要研究数量积的概念，通过“功 ”的事例抽象平面向量数量积的含义,探究数量积的 性质与运算律,体会类比的思想方法,提高学生抽象 概括、推理论证的能力。第二课时主要学习数量积 的坐标运算。一、教材分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体 系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理 知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法。 （2）教学难点一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质 的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了 ，学生难接受；另一方面，受实数乘法运算的影响，造成对数 量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本课 的难点是：对数量积的概念的理解2、 教学重点、难点分析 (1)教学重点数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和 运算的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度 ，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅 应用广泛，而且很好体现了数形结合的数学思想。因此，本 节课的重点是：数量积的概念。二、教学目标设计1、“数学课程标准（实验）”对本节内容的要 求（1） 通过物理中“功”等事例，理解平面向量数积的含义及其物理意义；（2） 体会平面向量的数量积与向量投影的关系；（3） 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、教学目标：（1 1）了解平面向量数量积的物理背景，理了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；解数量积的含义及其物理意义；（2 2）体会平面向量的数量积与向量投影的体会平面向量的数量积与向量投影的关系，关系， 理解掌握数量积的性质和运算律，并理解掌握数量积的性质和运算律，并 能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；（3 3）体会类比的数学思想和方法，进一步体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。培养学生抽象概括、推理论证的能力。创设问题情景抽象概念探究性质探究运算律应用与提高例题与练习课堂小结数学背景 方法 物理背景 定义分析 几何意义 物理意义 性质 证明证明运算律三、课堂结构设计三、课堂结构设计四、教学媒体设计：四、教学媒体设计：与大纲相比，教材在本课内容上，虽将向量的 与大纲相比，教材在本课内容上，虽将向量的 夹角放在上一节学了，但却把两节内容合并成一节夹角放在上一节学了，但却把两节内容合并成一节 ，为保证完成教学任务，结合本课实际特点：，为保证完成教学任务，结合本课实际特点：（ （1 1）制作课件，改变相关内容的呈现方式，）制作课件，改变相关内容的呈现方式， 增加课堂容量。增加课堂容量。（ （2 2）设计合理板书，加深对主要知识的印象）设计合理板书，加深对主要知识的印象; ; 清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。清楚本节内容知识间的逻辑关系，形成知识网络。2.4.12.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义一、一、数量积的概念数量积的概念 1 1、概念概念2 2、概念说明：概念说明：1 1）记法 ）记法 2 2）规定）规定3 3、几何意义：几何意义： 4 4、物理意义：物理意义：二、数量积的性质二、数量积的性质 三、三、数量积的运算律数量积的运算律四、运用与提高四、运用与提高例题：例题：五、教学过程设计五、教学过程设计一：创设问题情景，激发学习兴趣一：创设问题情景，激发学习兴趣 二二: : 探究数量积的含义探究数量积的含义 三：探究数量积的运算性质三：探究数量积的运算性质 四：探究数量积的运算律四：探究数量积的运算律五五: : 应用与提高应用与提高六六: : 课堂小结与布置作业课堂小结与布置作业问题1: 我们研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？教学过程设计一：创设问题情景，激发学习兴趣 问题2:我们是怎样引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的？物理模型概念性质运算律应用问题问题1 1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学 生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样 ，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有 其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。问题问题2 2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明 了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向问题3:如图所示，一物体在力F的作用下产 生位移S，（）力F所做的功W= 。 （） 请同学们分析这个公式的特点：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量是 。FS教学过程设计教学过程设计问题问题3 3的设计意图在于使学生了解的设计意图在于使学生了解 数量积的物理背景，让学生知道，数量积的物理背景，让学生知道， 我们研究数量积绝不仅仅是为了数我们研究数量积绝不仅仅是为了数 学自身的完善，而是有其客观背景学自身的完善，而是有其客观背景 和现实意义的，从而产生了进一步和现实意义的，从而产生了进一步 研究这种新运算的愿望。同时，也研究这种新运算的愿望。同时，也 为抽象数量积的概念做好铺垫。为抽象数量积的概念做好铺垫。二:探究数量积的含义、概念的抽象问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗? 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结 果又该如何表述？功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；结果是两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 教学过程设计教学过程设计（1）定义 ：（2）定义的简单说明：2、明晰数量积的定义夹角 的范围问题：向量的数量积运算与线性运算的结果有什 么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：教学过程设计教学过程设计、研究数量积的几何意义 （1）给出向量投影的概念（2）问题：数量积的几何意义是什么？教学过程设计教学过程设计这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量 积的概念后，只介绍了向量投影的定义，直到讲完积的概念后，只介绍了向量投影的定义，直到讲完 例例1 1后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形 式呈现给学生，我觉得这样安排似乎不太自然，还式呈现给学生，我觉得这样安排似乎不太自然，还 不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归 纳得出，所以做了调整。为此，我首先给出给出向纳得出，所以做了调整。为此，我首先给出给出向 量投影的概念，然后提出问题量投影的概念，然后提出问题6 6。 这样不仅让学生从这样不仅让学生从“ “形形” ”的角度重新认识数量积的概念，从中的角度重新认识数量积的概念，从中 体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性 ，而且也节约了课时。，而且也节约了课时。4、研究数量积的物理意义 问题:（1）功的数学本质是什么？（2）尝试练习一物体质量是10千克，分别做以下运动，求重力做功的大小。、在水平面上位移为10米；、竖直下降10米；、竖直向上提升10米、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；教学过程设计教学过程设计数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了 数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力 与位移的数量积与位移的数量积 。为此，我设计这些问题。为此，我设计这些问题 一方面使学一方面使学 生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物 理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。 SGGSSG、竖直下降10米；、竖直向上提升10米；、在水平面上位移为10米；、沿倾角为30的斜面向上运动10米；GS教学过程设计教学过程设计三：探究数量积的运算性质问题：（1）将问题的结论推广到一般向量， 你能得到哪些结论？ （2）比较 的大小，你有什么 结论？1、性质的发现教学过程设计教学过程设计教材中关于数量积的三条性质是以探教材中关于数量积的三条性质是以探 究的形式出现的，为了很好地完成这一探究的形式出现的，为了很好地完成这一探 究活动，在完成上述练习后，我不失时机究活动，在完成上述练习后，我不失时机 地提出问题地提出问题8 8： 2、明晰数量积的性质设向量 与 都是非零向量，则（1） =0 （2）当 与 同向时， =| | | 当 与 反向时， =-| | |特别地， =或=（3） avbvavbvbvav avavbvbva vbvavbv bvav| | |bvav avavavav2bvav bvav3、性质的证明教学过程设计教学过程设计设计意图是为体现教师只是教学活动的设计意图是为体现教师只是教学活动的 引领者，而学生才是学习活动的主体，引领者，而学生才是学习活动的主体， 让学生成为学习的研究者，不断地体验让学生成为学习的研究者，不断地体验 到成功的喜悦，激发学生参与学习活动到成功的喜悦，激发学生参与学习活动 的热情，不仅使学生获得了知识，更培的热情，不仅使学生获得了知识，更培 养了学生由特殊到一般的思维品质。养了学生由特殊到一般的思维品质。四：探究数量积的运算律1、运算律的发现问题: 我们学过了实数乘法的那些运算律？这些 运算律对向量是否也适用？ 学生可能的回答: ab= ba （ab）c= a (bc) （a + b）c=ac +b c教学过程设计教学过程设计猜测猜测的正确性是显而易见的。的正确性是显而易见的。关于猜测关于猜测的正确性，我提示学生思考的正确性，我提示学生思考 下面的问题：下面的问题：猜测猜测的左右两边的结果各是什么？它的左右两边的结果各是什么？它 们一定相等吗？们一定相等吗？学生通过讨论不难发现，猜测学生通过讨论不难发现，猜测是不是不 正确的。正确的。这时在肯定猜测这时在肯定猜测的基础上明晰数量的基础上明晰数量 积的运算律：积的运算律： 2、明晰运算律已知向量 和实数，则：3、运算律的证明学生独立证明运算律(1)（2）教学过程设计教学过程设计师生共同证明运算律（3）证明反思：当0时，向量 与 、 与 的方向的关系如何？此时，向量 与 、 与的夹角与向量 与 的夹角相等吗？教学过程设计教学过程设计运算律（运算律（3 3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课 时，这个证明由师生