平面图形的面积旋转体的体积定积分的元素法复习曲边梯形的面积计算方法（演示）定积分的元素法分析（演示） 定积分的元素法（演示） 应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素f(x)dx 和积分区间a ,b。一般地：若所量U与变量的变化取间a , b有关，且关于a , b具有可加性，在a , b中的任意一个小区间x , x+dx上找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式这种方法叫做定积分的元素法。 dU=f(x)dx称为所求量U的元素。直角坐标系下的平面图形的面积（演示）1、 由x=a ， x= b ,y=0 及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为2、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及 y=g (x) 所围平面图形的面积为3、 由y= c ， y= d ,x=0 及 x= (y) 所围平面图形的面积为平面图形的面积例题选举例1 计算由 及 所围成的图形的面积。 例2 计算由曲线 和 所围成的图形的面积。 例3 计算由 和 所围成的图形的面积。 例4 求椭圆 的面积。解练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1） （2） 轴轴（3） 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4） （5） 一般地：如右图中的阴影部分的面积为 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6） 或 12法一：以 y 作积分变量 法二：以 x 作积分变量 （7） 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。例 5 求由下列给定曲线所围成的图形面积。星形线星形线解由图形的对称性可得偶次方化倍角 即如果平面曲线由极坐标给出，如右图：如果平面曲线由极坐标给出，如右图：由由所围成的图形称为曲边扇形。所围成的图形称为曲边扇形。其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为极坐标系下的平面图形的面积（演示）（扇形面积近似替换）例6 求双纽线 所围平面图形的面积。例7 求心形线 所围平面图形的面积。 极坐标系下的平面图形的面积计算例题解 解 例 9 求由下列给定曲线所围成的图形公共部分的面积。解例8 求由曲线 所围成的图形面积。解旋转体的概念平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）旋转一周所得的立体（旋转一周所得的立体（演示）。）。可选取适当坐标系，使旋转轴为可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴或轴。轴。最基本的情形是曲边梯形绕最基本的情形是曲边梯形绕轴或轴或轴旋转的情形。轴旋转的情形。旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。aby=f (x)dcx=g (y)旋转体的体积计算公式1、旋转轴为 x 轴（演示）由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2、旋转轴为 y 轴（演示）oxyP(h,r)旋转体的体积计算公式例 1 连接坐标原点 O 及点 P( h , r) 的直线，直线 x=h及 x轴围成一个直角三角形，将它绕 x轴旋转构成一个底半径为 r，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。x x+dx解 如图所示 任取 ，形成区间 体积元素为 直线OP的方程为 所求体积为 旋转体的体积例题选举例2 求星形线 绕 轴旋转构成旋转体的体积。返回例3 计算由曲线 y=x2 与 x=y2 所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体积。 解 如图所示V2V1练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式x1y=x31xy=x31绕x轴旋转一周 绕x轴旋转一周 练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕x轴旋转一周 1y=x31y轴轴轴轴练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周 绕y轴旋转一周 1y=x3y21练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周 例4 求由曲线 及 所围成的图形绕直线 旋转一周而构成的旋转体的体积。yo-223 x4再见！2 2问题的提出返回定积分元素法分析返回定积分元素法返回平面图形的面积（直角坐标）返回求面积例题 1返回面积例题 2返回求面积例题 3返回例 4 求椭圆面积返回平面图形的面积（极坐标）返回旋转体概念返回旋转体实例圆锥返回旋转体实例圆柱返回旋转体体积推导返回体积例题 3返回体积例题 2返回体积例题 5返回