第二、三章 随机变量及其概率分布习题课 离散型随机变量 随机变量的分布函数 连续型随机变量 一维随机变量函数的分布 二维随机变量的联合分布 多维随机变量的边缘分布与独立性 多维随机变量函数的分布内 容关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内 容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的 往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量， 而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从 静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种 动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分 那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础 概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念 发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变 量一、随机变量的概念定义. 设S=e是试验的样本空间，如 果量X是定义在S上的一个单值实值函数 即对于每一个eS，有一实数X=X(e)与 之对应，则称X为随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、等表 示。随机变量的特点: 1. X的全部可能取值是互斥且完备的2 . X的部分可能取值描述随机事件随机变量的分类：随机变量n 离散型随机变量定义 若随机变量X取值x1, x2, , xn, 且 取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称X 为离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为X的分布律或概率分布。可表为X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或 Xx1 x2xKPkp1p2pk(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 2. 分布律的性质几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1. (0-1)分布若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称X服从(01)分布(两点分布) XPXkpk(1p)1k, (01时,F(x)=1 当0x1时,特别,F(1)=P0x1=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？abn 连续型随机变量1. 定义 对于随机变量X，若存在非负函数 f(x)，(-0的指数分布。 其分布函数为正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研 究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要 的地位。3. 正态分布其中 为实数， 0 ，则称X服从参数为 ,2的正态分布,记为N(, 2)，可表为XN(, 2).若随机变量(1) 单峰对称密度曲线关于直线x=对称；f()maxf(x) .正态分布有两个特性：(2) 的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，。正态分布也称为高斯(Gauss)分布4.标准正态分布参数0，21的正态分布称为标准正态分 布，记作XN(0, 1)。分布函数表示为其密度函数表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布 表供读者查阅(x)的值。注：(1) (x)1 (x)；(2) 若XN(, 2)，则（一）、离散型随机变量函数的分布律三、一维随机变量函数的分布设X一个随机变量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, 若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。求Y的分布律.或Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, （其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）一般地XPkY=g(X)设X的概率密度为fX(x),y=g(x)关于x处处可导且是 x的严格单减函数，求Y=g(X)的概率密度。 解：Y的分布函数为FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y)Y的概率密度为fY(y)=F(g-1(y)=fX(g-1(y) g-1(y)（二）、连续型随机变量函数的密度函数例.设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。当yY求：(1)常数A；(2) F(1,1)；(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。 例. 设解(1)由归一性(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。解求：（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0EX:随机变量（X，Y）的概率密度为xyD答: PX0=0例.已知(X,Y)的分布函数为 求FX(x)与FY(y)。例.设(X,Y)的概率密度为（1）求常数c;(2)求关于X的边缘概率密度解:(1)由归一性设(X,Y)服从如图区域D上 的均匀分布，求关于X的和关于Y的边缘 概率密度x=yx=-y随机变量的相互独立性定义：随机变量X与Y独立的充分必要条件是 F(x,y)=FX(x)FY(y) 定理. 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是f(x,y)=fX(x)fY(y)定理 设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为Pi,j=PX=xi,Y=yj,i,j=1,2,.，则X与Y独立的充分必要条件是对任意i,j，Pi,j= Pi.Pj 。由上述定理可知，要判断两个随机变量X与Y 的独立性，只需求出它们各自的边缘分布， 再看是否对(X,Y)的每一对可能取值点,边缘分 布的乘积都等于联合分布即可例1.已知X,Y相互独立,其概率分布分别为X-2-10 PY13P求(X,Y)的联合分布律关于(X,Y)的联合分布律13-2-101例2.设二维离散型随机向量(X,Y)的联合分布律如下,取何值 时,X,Y相互独立?Y X012011解:若X与Y相互独立 例3.设两个随机变量X与Y相互独立且同分布 例4.设X和Y为两个随机变量,且例5.设离散型随机向量(X,Y)的联合分布律为(X.Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2,)(2,3)v解:将表重新排列Y X12312 1例6.设二维随机向量(X,Y)的联合分布函数为其中参数0,这个分布称为二维指数分布,试讨论X和Y的独立性.解:由已知可得边缘分布函数p93例4.某码头能容纳一只船,现预知某日将独立地来到甲,乙两船,且在24小时 内各时刻来的可能性都相等,如果它们需要停靠的时间分别为3小时及4小 时,试求有一船要在江中等待的概率解:设X表示甲船到达码头的时间.Y表示乙船到达码头的时间由题中条件,X与Y都服从0,24上的均匀分布关于X的边缘密度函数关于Y的边缘密度函数因为X与Y相互独立,故(X,Y)的联合密度函数为事件有一只船在江中等待=YXY+4+XYX+3表示:甲船来时, 乙船已在码头表示:乙船来时, 甲船已在码头x2440324 y Y=X+3X=Y+4SP108 8.设X,Y相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,试求使方程 有实根的概率.o11yxY=x2P108 2.设二维随机向量的概率密度函数为v求(1)C (2)(X,Y)落在圆 内的概率P107 3.设平面区域D由曲线所围成，二维随机向量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边 缘概率密度在x=2处的值为:解:xyo1e2 P107 4.设随机变量X,Y同分布,X的密度函数