第44课 分类讨论型问题 基础知识 自主学习1. 分类讨论是重要的数学思想，又是一种重要的解题策略，很多 数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局 部问题，就可以逐个予以解决，分类讨论在解题策略上就是分 而治之各个击破 2. 一般分类讨论的几种情况：(1)由分类定义的概念必须引起的讨论；(2)计算化简法则或定理、原理的限制，必须引起的讨论；(3)相对位置不确定，必须讨论；(4)含有多种不定因素，且直接影响完整结论的取得而必须分类讨论 3. 分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方 法，分类时要做到不遗漏、不重复，善于观察，善于根据事物 的特性与规律，把握分类标准，正确分类要点梳理难点正本 疑点清源1分类讨论型问题对解题的要求在解答某些数学问题时，有时会遇到多种可能情况，需要对各种情况加以分类求解，然后综合归纳得出问题的正确答案，这就是分类讨 论分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方 法，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索 性，能训练人的思维条理性和概括性2需要运用分类讨论思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为以下几个方面：(1)涉及的数学概念是分类定义的；(2)运用的数学定理、公式或运算性质、法则有范围或者是条件限制，或者是分类给出的；(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；(4)数学问题中含有参数，这些参数的取值不同会导致不同的结果基础自测1已知|x|5，y3，则xy的值等于( )A8 B2 C2 D8或2答案 D解析 因为|x|5，所以x5或5，因此xy532或xy538.2已知点P(2,0)，若x轴上点Q到点P的距离为2，则点Q坐标为( )A(0,0) B(4,0)C(0,0)或(4,0) D以上都不对答案 C解析 当点Q在点P的左边时，得Q(0,0)；当点Q在点P的右边时，得Q(4,0)3如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值( )A只有1个 B可以有2个C有2个以上，但有限 D有无数个答案 B4(2010德州)已知三角形的三边长分别为3、4、5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是( )A0, 1, 2, 3 B0, 1, 2, 4C0, 1, 2, 3, 4 D0, 1, 2, 4, 5 题型分类 深度剖析题型一 三角形问题的分类讨论 【例 1】 直角三角形的两条边长分别是6和8，那么这个三角形的内切圆半径等于_探究提高 解答的关键是要注意题设中的“两条边长”，可以是“一条直角边，另一条也是直角边”或者是“一条直角边，另一条是斜边”知能迁移1 已知一个等腰三角形的边长是x26x80的根，则这个三角形的周长等于_答案 6或10或12解析 x26x80的两根为x12，x24，三角形的周长等于2226或44412或44210.题型二 圆相关的分类讨论 【例 2】 (2008南京)如图，已知O的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP10 cm，射线PN与O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动设运动时间为t (s)(1)求PQ的长；(2)当t为何值时，直线AB与O相切？图1图2 探究提高 本题(2)中直线AB与O相切有两种情况，一种在O的左边与AB相切，一种在O的右边与AB相切. 知能迁移2 已知：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OBOC.(1)如图1，若点O在BC上，求证：ABAC；(2)如图2，若点O在ABC的内部，求证：ABAC；(3)若点O在ABC的外部，ABAC成立吗？请画图表示图1图2解 (1)过点O分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知：OEOF，OBOC，RtOEBRtOFC，BC，ABAC.(2)过点O分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知，OEOF，OBOC，RtOEBRtOFC，OBEOCF.OBOC，OBCOCB，ABCACB，ABAC.(3)不一定成立(注：当A的平分线所在的直线与边BC的垂直平分线重合时，有ABAC，否则ABAC)题型三 相似三角形中的分类讨论 解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！探究提高 本题有一定的难度，分类的情况比较复杂，解题时要多读试题，首先确定分类的方向，理解解题思路，做到胸有成竹，而不要急于下笔知能迁移3 (2010莆田)如图1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EMBD垂足为M，ENCD，垂足为N.(1)当ADCD时，求证：DEAC；(2)探究：AD为何值时，BME与CNE相似？(3)探究：AD为值时，四边形MEND与BDE的面积相等？解 (1)证明：ADCD，DACDCA，BDC2DAC.又DE是BDC的平分线，BDC2BDE，DACBDE，DEAC.题型四 函数问题的分类讨论 探究提高 本题中，动点E随时间t的变化而位于不同的位置，重叠部分的面积S在t的取值范围内，存在着不同的对应关系，因而有不同的函数关系式答题规范14分类讨论不重复、不遗漏考题再现 求出所有满足|ab|ab|1的整数对(a，b)学生作答 解：根据绝对值的非负性和a、b均为整数，讨论|ab|0且|ab|1的情况，得到满足条件的整数对(a，b)共有(0,1)，(0，1)，(1,0)，(1,0)四对老师忠告 1. 分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法之一，在研究此类问题的解法时，需认真审题，全面考虑，对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重、不漏、条理清晰 2. 分类讨论的一般步骤：确定分类对象；进行合理分类；逐类进行讨论；归纳作出结论. 思想方法 感悟提高方法与技巧1. 分类讨论的一般步骤：(1)确定讨论的对象和讨论的范围；(2)确定分类的标准并进行合理分类；(3)逐级讨论并总结概括得出结论分类讨论解题的关键是如何正确进行分类2. 分类讨论的原则：(1)分类的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按一个标准(不重复，不遗漏)；(3)分类讨论应逐级进行失误与防范1应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一、不重复、不遗漏，并力求最简运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答2分类讨论应当遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清层次，不越级讨论 ，其中最重要的一条是“不漏不重”3分类讨论的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论完成考点跟踪训练44