第二章 基本定理2.1 概率的加法定理若事件A、B互不相容，则P（A+ B）= P（A）+ P（B ）定理1 对于任意两事件A与B，有 P（AB）= P（A）+ P（B） P（AB）由概率的可加性可以得到P（A-AB）= P（A）-P（AB）证： 事件AB可以表示成三个互不相容事件推论1 对任一事件A，有”逆事件法则”P (A) = 1 P (A)2.2 乘法定理2.2.1 条件概率一般地，定义1 A、B 是两个随机事件，如果 P (A ) 0 ，则定义：是事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率。P (B | A ) = P (AB )P (A )两种途径计算条件概率（1）在缩减的样本空间中计算条件概率（2）利用上述公式(1) ( 非负性) 对任意的随机事件 B，有 P ( ) 0 ；(3) ( 可列可加 ) 对于任意一列两两不相容的随机事件B1，B2， ，则有：定理2 条件概率具有如同无条件概率一样的性质(2) ( 规范性)例6设已知某种动物自出生能活过20岁的概率是0.8， 能活过25岁的概率是0.4，问现龄是20岁的该种动物 能活过25岁的概率是多少？ 条件概率可解释为当存在部分先验信息可资利用时，而对概率 作出重新估计.2.2.2 乘法定理 ( 计算随机事件交事件概率的公式 ) 乘法公式 如果 P (A ) 0，则有P (AB ) = P (A ) P (B | A ) 一般的乘法公式 设 A1 ， A2 ，An 是任意的 n 个随机事件，并且 P ( A1 A2 An ) 0 ，则有：P ( A1 A2 An ) =P (A1 )P (A2 | A1 )P (A3 | A1 A2 )P (An1 | A1 A2An2 )P (An | A1 A2 An1 ) 对称地， 如果 P (B ) 0，则有 P (AB ) = P (B) P (A | B ) 例8。一批零件共100个，已知内有10个次品，现从中任意逐次 取出一个零件（取后不放回），问第三次才取到正品的概率是 多少？2.2.3 独立事件定义2 对事件A、B，若P（AB）=P（A）P（B）则称事件A与事件B是相互独立的，简称独立的。定理4 若P（A）0，则事件A与B独立的充分必要条件是P (B | A ) =P（B） 或 P (A | B ) =P（A） 定理5 若事件A与B 独立，则下面三对事件均独立： 例10 某商店经销的某种商品100件，经理声称其中只有5件带 有不影响使用效果的小缺陷，工商部门对这批商品进行抽检时 ，采用有放回每次抽一件检查的重复抽样检查法，试问接连抽 检两件这种商品时“第一件查出带缺陷”与“第二件查出带缺 陷”这两个事件是否独立？被抽检的这两件产品皆是有缺陷的 商品的概率是多少？ 这是个小概率事件，若恰好遇到，则有理由怀疑经理 的谎报，可以采取更进一步的行动了。例 ( 概率与伴侣 )下面是一位男士所列的他的女友应该满足的条件 22 27 岁 受过良好教育 漂亮 聪明 性格温柔、体贴 中等身高体重 身体健康 有共同爱好 未婚 喜欢我1/4 1/5 1/5 1/4 1/6 1/2 1/2 1/8 1/2 1/5假定这些 条件彼此相互 独立，所有概 率的乘积为：1/41/5 = 1/768,000如果要全部满足这些条件，假定每天认识 3 位女性，他平均需要等待 700 年时间。2.3 Bayes ( 贝叶斯) 公式1. 样本空间 的划分 ( 或完备事件组 )定义1.5.2 如果随机事件B1，B2，Bn ， 满足：(1) BiBj = , 对所有的 i j ；(2) B1B2Bn = .则称 B1，B2，Bn ， 是样本空间 的一个划分 。2.3.1 全概率公式假定随机事件组 B1，Bn， 是样本空间的一个划分， P (Bk ) 0, A 是任意的一个随机事件,则：P (A ) = P (Bk ) P (A | Bk )全概率公式2.3.2 Bayes ( 贝叶斯) 公式P (Bk | A ) = P (Bk ) P ( A | Bk )P (Bj ) P (A | Bj )假定随机事件组 B1，Bn, ， 是样本空间的一个划分， P (Bk ) 0, A 是任一具有正概率的随机事件,则：证明： P (Bk | A )P(ABk)P(A)例 产品使用的元件由三个工厂提供，数据如下：厂家 次品率 所占份额甲厂 0.02 0.15 乙厂 0.01 0.80 丙厂 0.03 0.05(1) 随机从仓库取一件，求取到次品的概率； (2) 如果取到次品，最可能是来自哪个工厂的产品？最不可能的又是哪个工厂的？解. 以 A、B、C 分别表示取到的这个元件来自工厂 甲、乙、丙，D 表示这个元件是次品。因此已知：P (A ) = 0.15, P (B ) = 0.8, P (C ) = 0.05 ; P (D | A ) = 0.02, P (D | B ) = 0.01,P (D | C ) = 0.03 .(2) 根据 Bayes 公式，P ( A | D ) = = = 0.24 ，同理，P (B | D ) = 0.64 ，P (C | D ) = 0.12 。这个次品最有可能是乙厂，最不可能是丙厂的。(1) 根据全概率公式， P (D ) = P (A ) P (D | A ) + P (B ) P (D | B ) + P (C ) P (D | C )= 0.150.02 + 0.80.01 + 0.050.03 = 0.0125 ；需要求出 P (D ) ，以及比较三个条件概率 ：P (A | D )，P (B | D )，P (C | D ) 的大小。P (A ) P (D | A ) 0.150.02 P (D ) 0.0125“先验概率” 与 “后验概率”先验概率：过去经验或知识后验概率：有新的信息 以后对过去认识的修正厂家 次品率 所占份额 条件概率甲厂 0.02 0.15 0.24 乙厂 0.01 0.80 0.64 丙厂 0.03 0.05 0.12全概率公式贝叶斯公式若干原因结果如果把随机事件 B 看成是结果，随机事件组 A1，An 看成可能导致结果 B 发生的若干原因，贝叶斯公式在决策理论中有重要应用：不断地根据新得到的信息来修正原来的观点。