1.5 全概率公式和贝叶斯公式1.5.1 全概率公式 引例： 有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2 号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某 人从中随机取一罐，在从中任意取出一球 ，求取得红球的概率.213如何求取得红球的概率？第1章 概率论基础定理1.2 设试验E的样本空间为 ,A1,A2,An为E的一组事件，且满足：(1) A1,A2,An两两互不相容， i = 1,2,n；(2) 则对任一事件B，有 (1.7)(1.7)称为全概率公式称满足(1)和(2)的A1，A2，An为完备事件组或样本空间的一个划分1.5.1 全概率公式证明：因为由于A1，A2，An两两互不相容，由有限可加性由假设及乘法公式得到利用全概率公式求事件B的概率，关键是寻求完备事件组A1，A2，An;寻求完备事件组A1，A2，An相当于找导致事件B发生的所有互不相容的事件1.5.1 全概率公式有三个罐子,1号装有 2 红 1 黑球 , 2号装有 3 红 1 黑球，3号装有 2 红 2 黑球. 某人从中随机取一罐 ，再从中任意取出一球，求取得红球的概率. 解 记 Ai = 取到的是 i 号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球 A1,A2,A3 的发生都会导致B 发生， A1,A2,A3构成完备事件组代入数据计算得：P(B) 0.639 . 123再看引例 依题意: P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4, P(B|A3 )=1/2,P( Ai )=1/3, i=1, 2, 31.5.1 全概率公式【例1.15】假设有3箱同种型号零件，里面分别装有 50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件 和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两 个零件，试求:(1)先取出的零件是一等品的概率；(2)两次取出的零件均为一等品的概率解: 设Ai =“任取的一箱为第i箱零件”，i = 1,2,3，Bj =“第j次取到的是一等品”，j = 1，2由题意知 A1、A2和A3构成完备事件组， 且1.5.1 全概率公式(1)由全概率公式得1.5.1 全概率公式(2) 因为 由全概率公式得1.5.1 全概率公式引例：某人从任一罐中任意摸出一球，发现 是红球，求该球是取自 1号罐的概率.213这是“已知结果求原 因”的问题是求一个条 件概率.下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：Bayes(贝叶斯)公式1.5.1 全概率公式1.5.2 贝叶斯公式 定理1.3 设试验E的样本空间为 ，B为E的事件， A1，A2，An为完备事件组，且P(B) 0，P(Ai) 0，i = 1，2，n，则(1.8)(1.8)式称为贝叶斯公式1.5 全概率公式和贝叶斯公式证明该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观 察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原 因的概率.由条件概率公式、乘法公式及全概率公式知：1.5.2 贝叶斯公式某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球 ，求该球是取自 1号罐的概率.再看引例 解 记 i = 取到第 i 号罐 i=1, 2, 3; = 取得红球 1,2,3是完备事件组代入数据计算得：213其中 P(|1)=2/3, P(|2 )=3/4, P( |3 )=1/2, P(i)=1/3, i=1,2,31.5.2 贝叶斯公式特别有： 设事件A、B为试验E的两事件，由于A和 是一个完备事件组，若P(A) 0， ，P(B) 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为1.5.2 贝叶斯公式【例1.16】玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别是0.8，0.1和0.1，某顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随即取出一箱，顾客开箱随机地查看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1) 顾客买下该箱的概率；(2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的 概率1.5.2 贝叶斯公式解：设B =“顾客买下该箱玻璃杯”，Ai =“抽到的一箱中有i件残次品”，i = 0,1,2(1) 事件B在下面三种情况下均会发生：抽到的一 箱中没有残次品、有1件残次品或有2件次品。显然A0，A1，A2是完备事件组由题意知由全概率公式得1.5.2 贝叶斯公式(2) 由贝叶斯公式1.5.2 贝叶斯公式【例1.17】根据以往的记录，某种诊断肝炎的试验有如下效果：对肝炎病人的试验呈阳性的概率为0.95；非肝炎病人的试验呈阴性的概率为0.95对自然人群进行普查的结果为：有千分之五的人患有肝炎现有某人做此试验结果为阳性，问此人确有肝炎的概率为多少？1.5.2 贝叶斯公式解: 设A =“某人确有肝炎”，B =“某人做此试验结果为阳性”；由已知条件有从而由贝叶斯公式，有1.5.2 贝叶斯公式本题的结果表明，虽然 这两个概率都很高但是，即试验 阳性的人有肝炎的概率只有8.7%如果不注意这一点，将 和 搞混，将会得出错误 诊断，造成不良的后果1.5.2 贝叶斯公式在贝叶斯公式中，事件Ai的概率P(Ai)，i = 1，2 ，n，通常是人们在试验之前对Ai的认知，习 惯上称其为先验概率若试验后事件B发生了，在 这种信息下考察Ai的概率 它反映了导致B发生的各种原因的可能性大小，常称为后验概率1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式是英国哲学家Bayes于1763首先提出的，经过多年的发展和完善，由这一公式的思想已 经发展成为一整套统计推断方法，即“Bayes方法”，这一方法在计算机诊断、模式识别、基因组成、蛋白质结构等很多方面都有应用Thomas BayesBorn: 1702 in London, England Died: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England1.5.2 贝叶斯公式课堂练习 有一台用来检验产品质量的仪器，已知一只次品经检验被认为是次品的概率为0.99，而一只 正品经检验被认为是次品的概率0.005，已知产品的次品率为，若一产品经检验被认为是次品 ，求它确为次品的概率解由贝叶斯公式，所求概率为由题设知1.5.2 贝叶斯公式