年月数值计算与计算机应用第期。变换的代数数值反演方法戴煌中国石化集团扬子石化公司,南京人五尸二归二饥卿如几叭沁虽引言在过去的几十年中,以变换理论为基础的运算法在 自动控制领域中成功地简化并解决了许多实际问题运算法中最困难的就是从变像即变换找出原函数即反演虽然有许多变换表中由变像可直接查出相应的反演,但变换表远远不能包括所有实际中遇到的问题,而且在一般情况下,反演的表达式是一个复积分 ,一豪了卿亦这个积分在很多情况下是十分复杂以致难以算出,这时我们只能通过近似的方法求出反演的近似值,即求数值反演变换的数值反演是个病态问题尽管在九十年代以前许多学者对这个问题进行了多方面的研究,得出了一些数值反演方法,但由于病态原因,这些数值反演方法计算复杂、精度低和适用面窄,没有被人们普遍接受变换的数值反演因而也被认为是本世纪难以解决的困难 问题阂之二年月日收到数值计算与计算机应用年本文通过代数的方法得出了数值反演的计算公式,其形式如同型求积公式一样简单在实际计算中发现公式精度大大高于现有数值反演方法,而且适用面广,对许多函数均能得到满意的数值反演结果,所以是一个实用的有效的数值反演方法它的实际应用将对运算法产生一定的推动作用笋数值反演公式的导出设变换功的反演为,则,一一”,“。 ,一一。,一沙一,“回,。,利用一求积公式计算右端的广义积分,则得到岛艺、一伽一“,其中七是求积公式的结点,是相应的权系数在上式中取的几个值,几一,则 由得到方程组牡 一艺、了、一恤一气一,一通过解方程组就能得到反演的个近似值,设,。为在、,。的值组成的列向量,戈为方程组的解,并设占只 其中为的系数矩 阵,二尹。,尹,一,则一戈一一“占为的误差值组成的列向量扣,几一为获得误差较小 的,须使占尽量小从大量的计算得知,对于较小的值通常指,无论,。一如何取值,通过式均能求得较为准确的的近似值而对较大的亡值,介的选取大大影响的精度由变换的性质知,分所以。一沙一一沙一一,期戴煌变换的代数数值反演方法显然,式对于。一”一任。一时精确成立沙。一为次数低于、一次多项式集合,故取二一,。一,使二一一二,这时一沙一二,号,于是取一。,一 。,。一,其中是个大的正数通常取七这时由就得到方程组尸制一艺、一命气一,“一二为求更多点的反演值,在中作变换亡,则。 、一,一下与推导相类似,得到一,艺人二一叽。一扮,一。,。一介一 为解方程组,设、笋二,乞,一,。,。一艺寥一,二为以。,司为节点的插值基多项式,则矩阵曰劣登一的逆为 了乙几,丁七七了口、数值计算与计算机应用年,无 玖,凡,一,则式可写成又玖群一凡, ”,几一凡凡巧、尸上嵘乃嘴鳄一一叹“,“了几 、 、的解为玖一艺中凡,“一 ,一几一一一飞即得、一叽“一令烈。叮,故得到数值反演公式爪一甲宕,份、,、二二万此产少,万“侧几、,二二一,几,其中二,、为阶一求积公式的结点和相应的权系数,才、一,。,。一只与爪,、有关,而与沙无关,故可预先造表,也可直接在计算机程序中计算笋算例在用计算数值反演时,均取,实际上,如果,结果会更好,实际计算中也证实了这一点为了能更准确明了地反映数值反演公式的精确性,在误差计算中本文不是象以往那样使用绝对误差,而是使用相对误差,这样更能表现有效数字的准确性例川沙“尸“却取一一,由式计算下表为结果和误差并与文献【中的方法进行精度比较期戴煌变换的代数数值反演方法乞,二数值解精确解相对误差相对误差一只一又一火一一一一一又一一一一一一一一丫一一,一一一一一一丫一火一一一一一一一一只一一一一一火一一火一一一一一火一一火一一一参考文献,叮,窦志著,拉普拉斯变换的理论和应用导论,科学出版社,年,一,一,一