用概率统计第八卷第二期? 年!月# % 南京市第四十三中学,南京,? 摘要木文给出了母休具有有界的高维密度函数且密度函数未知的贝叶斯判别问题的渐 近解,指出了渐近解平均风险的收敛性8关于一维的有界密度 函数,0, +? =%山提出了核函数估计8关于高维密度函数 的最近邻估计有许多结果但只对密度 函数的连续点成 立图8贝 叶斯判别问题的解涉及到密度函数8在用密度的估计去 代替真密度函数时,其关键是平均风险是否收敛于真的平均风险8本文首先把一维有界密度函数 的核函数估计推广到高 维密度函数,从而用高维核函数估计去代替高维密度函数,求出贝叶斯判别问题的渐 近解,且其平均风险收敛于真的平均风险8引理?设刀,为勒贝格可 测集,.;叭,肠.;了是刀上有界可测函数,则对任意各。,存在闭集尸刀及整个尸上的连续函数;了一;勿,巧使在尸上,抓.;( 且。;刀一尸占,%.;(皿.;了;证明见 8引理?8,对任意,),了和变量,存在分上可测函数;了一和 闭集,使在尸上“;了一 一.;了一 ,黔“;了一 一; 一.;川且“; 彩一碱,一乃 9,%.;了;喊 %0. ;8证由引理?,对任意。),和变量,存在尸上连续函数;了一和闭集使在,上有,;(一.;(一,。;祷.,9 、 8二,艺;了一?“一“;命件“钾一沐;剑 任 ,一刀吓+匡3(、卜田,一几%;,一钾一 ;命 ? ?,则为闭集,黔;了一一;(一.;了,在尸上;一一 ; 一一.; 了一 ,本文? ?9?年月!日收到,?卯 年月朋日收到修改概一,9?。;笋.喊 二;,笋.,=89 叹8, 二一卜,艺艺一卜饥;怀,“一了;责 ? 显然%. .;喊夕;喊 0 .;8设刃;二,与为0维随机变量,核函数了;了 ;叭,肠及#;叼满足;?;。且二,; 刃 ;“一岁琴 ; ),二,“;1( ,和.;了了】叶闰;助? ?刀#;动,功赫叮的,则利用满足条件; ? 和; 的核函数 了;(、给出的密度估计价、?祥、筛一 了”、人(一少 二 , 二, ,五几 牡荞左九仁妈少7一人;叼王今一三一 万.生二三竺三红华望、一六汤?二力3 8二工(8,、, ? 8, ,勺是.; 了的渐近无偏估计和相合估计8证由大;(的定义 和(,(。的独立性有 以; 卜命二;气是佘一命九,袱箫者主止乐黔卜一“? ?“? ,一。,;?,.;一;怜。一,一;肠。,一二;“了;了一“;肠“对任意? 知存在几“万召=/其中 /一.; 工左于。即 ;去8由引理?8,存在丑,上可测函数; 了一和 闭集尸,使在上。汗一一.江一“饥;。. 饥;,一 击 ;了一; 一.;了主%.;双夕喊阳0.; 8 且则8? 9 ?丁,8 ,8;,;一“;、 一,8;,;一“;, ?、丁二,;,;一“;外一;,; 一“;转,“仍; 斗. /一由勒贝格控制收敛定理有=/8/ 一喜 吕; 忽丁8;,; 一“;动“,“ ,;艺1万87一一一一一一一一8 8 8 8 8 8砂 了;3 %;厂一#;。叮汀8+8 口8 8 8 8才8 8 8 88+8 8 8沙所以对任意9,; 一、间? 二一,;二 . ;? 川各?( ? ?一(若?义、3。;!注意到;.;,从而有鱿;卜, ;、?丁8、8;, ;一“、? 一,;一“、? ,“_? 。;, 。贬了一#;几,一;,“_ ,8、1一98仑 乓告,二8一卜气二石石;=所以大;(是.汀的渐近无偏估计8另 一方面利用万了,的独立性有7二大;一斋不未了卜.;气示手一伪;8令佘。用证 明大;了为渐近 无偏的同样方法可证,?,+一,一,?,、.一。,。、, 月?,二二尸8口?(一飞? ? 气石8 ?一气乙肠乙 ,8几护气孔九、几 (一(刀,由 ;!一;并注 意;?和; 有 ;大一. 一3加, +大_腼;刃大一力一。所以目叶。,尸 (。,.;二” )时8引理穷设口+.;厂,度收敛于.国,即大人.证由定理?有“刀尸为有界可测集,则在门刀上大;了依勒贝格测一黔几,;大;,一;, ,; ,江又.;认有,乃 所以 仁九一(. “一)且、;份%刀 ),从而在仔 %上成立8;大一. . “一? 了二一几。,汀订则有证对刃,记凡一刀,则存在有界可测集列事实上,对,一刀存在有界可测集列或卿使日“一,且,互不相交一? 8乳”、使尸一刀日尸记,一,一;,一%撼,。一二;“% ;“,一,风刀,凡凡门;渺一刀,一,%;,一卜月;二%;,一“,一,则嗯为有界的互不相交的可侧集列且从而一一瞥助;一二,一二,全一日马其中一% 0尔二(,一把 判“;刀“时,一以当陌;刀万时 订又工少8对每个刀门泞由引理,在刃 呀上有眺由有界控制收敛定理有一刀,六了,翔,喊禁几8%。大;,蚀几。吠;二二因为所以一几%。;二让瓤。丸二“瓤。、; 二;9饮象几。大;“想鑫( , 8昭一套勿丘,。大汀了大;了汀 令:,) ),则有浊客几大修了; 砂 由刀互不相交,大;了非负有黔(。、。大;刀“睿黔几门。;、。沪闭汀一黔象几%。 大;(己了县聆几8。;,“县黔几。;二,二一二“一 并注愈到; 9,对每个落,当然对刀刀有 回,8%。大;“一几。; , ,江推论98?则设泞一了.; 厂订一几,。了;,江一证由;?即得8推论8幼设泞一了了;了奸,则 票丁二,%。大;1一丁,门。.;“一“且在公。上月 九一.,丸了、一黔丁二门二丸二_丘,门。丸“黔8 二,。大;1一,。了;,1一,“以努丁二,%,大;1一。一丁二,门,;1 又大; 了),所以在宁上大三争。一六了8引理8设刀为任意有界可 测 集,则在刀上有大一匀. 且票几大;二“一扮;二证记刀。一了大;一了;了好,则。;刀。%刀。;刀。门刀门口_。;刃。自刀%夕由引理和推论8有 %,;刀。%刀;刀。%刀%宁_功、;刀,门刀自仔“一短几门。大;“_魏几%,大;二二一几。,;、_,大;“ 有等度绝对 连续性8证对任意),存在,只要可 测集“,为票( 8大;“一上.;二二,斯以存在:,当。:时有; ? , 9巴丘大;二“喊“推论8设二;,一客,石;,、大;二力 ;万一致有界,; 了?喊落,夕, 3 一咨泥;么夕了;( 了一?,”,一(,二;?贝”丁腮,“;,“ 有等度绝对连续。马;( 1了有绝对连续性8证对。健了示一?(取则二:时对落一?,(都有万一, :; 幻,从而有 上粼了?疡(叉二(8知“众走矿丘五;,大、二1二喊”鑫丁。粼1 、“客万汾一。所以,刀,;,二有等度绝对连续性8所以对,:;,只要;,:;(时有 端;二二今(口4 3取占。二),;:口,丁夕(:勿,则 当、:。,只要,;,(刀。;二二、割。二;了1 哎客号一】?,?夕(3岛;( 己了有等度绝对连续性8同理 可证二,;( 1了有绝对连续性8+88 , 8? 以所定 理?设 子样了,了,是取自!个尸维连续分布母体且具有有界密度函数五#,一 ,!苏了由定理 定义,一 ,、!,损失函数%“,力,喊,夕叹!为界函数一? 8笼才? %;,动一淤信喜;刀江一赎郭“;,.;二州己二一,;,1其中1武为任一决策函数81抓了类似于;? 定义,只是用%月;,司8代替( 刀,;一 一艺 8?刀二,;厂一习 二?,石;落,夕.;了二石;,夕大;了8证设江(,一?二8燕息一二8 ,燕熟石叼以二川艺 艺,石;落,双夕?丁二 ?刃大;(礁;了江+, 8 8(一二,鑫熟叼 . 8 ;。,二卜( _“由“,刃的有界性和1盏;( ?,盯;了喊?,?,(,夕一 ?,(8存在。,使艺二;感,少一?,1; ,?鑫,。;,二;?)味?,(8则 ( 口,二,甚8劫江_(8二8,郭; 叫对任意9二一命呵8,8客灿 二一工二,。 篡. 8 ; 所以存在: ),当。:。时有丁,二,8鑫粼二“一命从面8,9 ,二,8郭,;“了一几,言大;“一了二8,8鑫大。;二二取少 )则当,:。时有“一;一命一易几除一卜命一音伊8扮 由及,;了和刀;(的定义有几一汀二8甚巩;了,喇二“一工二8尹8县”,;,。二川由嵘;(和叮;了的定义有聂端; “备;刀一撰刀;了,燕 翔 1戮 刀 , ?了(,;了由引理,在优(; 璐了一关;了,? 8 8( 8从而由推论一几;了,夕二? 8 88 ( 8 存在占,:,当二:时,只要。伍各就有 上刀 ,?矛(玛;了了导,上%, ?(马;(“含 对氛存在试,;刀勺兰斗,团,夕一?(夕:,当二:时有饥;工几(,一圳谕门、,“喊二、知一 ,一二、玛?一圳二?!下斋飞,、一修#二、珊,山孟 %.,了? 。二?。4 ?.几侈?一。4?刀,? 而得到的溉;了 就是贝叶斯判别间题的渐近解,且平均风险收敛于真的平均风险8参考文献?, +加%,8,伽?= ,?,?红?王翻9 8那汤松,实变函获论,; 下册,高等教育出版社,?! 8 /60 36 3:/ 八! / 63/ : 363:0 633/ :;:,气 感”:)8盛 #召&#刚3%4#日,详+,&主&4#&,盯0切七?印七)%).,),).,5&4 )%1) )滋)%