1第 1 章 污染物在水体中迁移模型1.1 流体运动的某些概念1.1.1 浓度设 是以点 为中心的微小体积， 是该微小体积内包含的污染物的质量，某V(,)xyzM时刻 ，点 的浓度定义为t,* MERGEFORMAT (1-1-1)0(,)limVCxyzt某一时刻污染物质在水域中的分布，一般来说是随着空间位置的变化而变化的。某时刻水域中某点 都有一个确定的浓度 与之相对应，所以(,)xyz(,)zt* MERGEFORMAT (1-1-2),xy确定了一个浓度场。1.2 有关污染源的几个概念费克扩散定律费克扩散定律可以表述如下，在单位时间内通过单位面积的溶解质（扩散质）与溶质浓度在该面积的法线方向的梯度成正比例，用数学表示为* MERGEFORMAT (1-1-3)xCFD式中， 表示溶质在法线 方向的单位通量； 表示溶质浓度； 表示扩散系数；xFx D表示溶质浓度在 方向的梯度；式* MERGEFORMAT (1-1-4)中负号表示溶质从高浓度向Cx低浓度扩散。一般费克定律的数学表示为* MERGEFORMAT (1-1-5)FDgradC式中， 为通量密度向量。设 为 在 方向上的分量，则F,xyz,xyz2* MERGEFORMAT (1-1-6),xyzCCFDFD1.3 分子扩散方程设静止溶液中，含有某种物质的浓度为 ，以点 为中心取出一个微元六(,)Cxyzt(,)xyz面体，六面体的各边长分别为 。,dxyz设扩散通量密度矢量 在三个坐标方向的分量分别为 。对于在 时间内，F,xyzF(,)td由于分子扩散作用引起的微元体内物质质量的增量。在 轴方向，由于分子扩散作用引起的物质质量的增量为 (,)(,)(,)22yy y xztddFxztxtFztxtdt同理在 轴方向和 轴方向由于分子扩散作用引起的物质质量的增量为与(,)xyztdt(,)zxytdzt在 时段内，由于分子扩散作用引起的物质质量的增量为 (,)( (,)yxzxytFdztivFxyztdt另一方面，在 时段内微元体中因浓度增加需要的物质质量增量为dt(,)(,)(,)xyztCCxyztdxyztdzdt根据质量守恒定律，在 时段内微元体中因浓度增加需要的物质质量增量应与在 时t dt段内由于分子扩散作用引起的物质质量的增量相等，即 ()dxyztivFdxyztt消去 ，得dxyzt* MERGEFORMAT (1-1-7)()0Cdivt由式代入上式得 ()iDgrat3或* MERGEFORMAT (1-1-8)()()()xyzCCDDt式中， 为 在 方向上的分量。,xyzD,yz当物质在溶液中扩散为各向同性时，即 时，可以改写为xyz* MERGEFORMAT (1-1-9)()()()CCDDtx当物质在溶液中扩散为各向同性时，分子扩散系数 为常数时，可以简化为* MERGEFORMAT (1-1-10)22()tyz1.4 污染物在水体中的随流扩散方程假设水体是层流运动，造成污染物质在水体中迁移的主要因素有：随流作用，分子扩散作用。设流速 。在水体中任取一点 ，以点 为中心取出一个微元六(,)Txyzu(,)xyz(,)xyz面体，六面体的各边长分别为 。在 时段内进行物质质量平衡分析。,dxyzdt1、由于随流作用，在 时段内微元体 在 轴方向的物质的增量为tVx(,)(,)22(,)xdxdxyz yz yzCuCuCutdt同理在 轴方向和 轴方向，在 时段微元体 内物质质量的增量为yt和(,)yxzd(,)zxyudzt综合 方向在 时段微元体 内物质质量的增量为,xyzdtV(,)xyztdivCudt2、由于分子扩散作用，在 时段微元体 内物质质量的增量为t(,)xyztdivFdt综合上式可得，由于随流作用和分子扩散作用在 时段微元体 内物质质量的增量为V4(,)()xyztdivFiCudt另一方面，在 时段内微元体中因浓度增加需要的物质质量增量为dt(,)(,)(,)xyztCxyztdxyztdzdt根据质量守恒定律，得到 (,)()xyztdxyztdivFiCudtt消去 ，得dxyzt* MERGEFORMAT (1-1-11)()()CdivFiCut由于 Fick 定律 代入上式得FDgrad()()ivgradivut写成标量形式为* MERGEFORMAT (1-1-12)()()()yxzxyzCuCCDt 假定水是不可压缩的，则 ，于是可简化为0xzu* MERGEFORMAT (1-1-13)22()xyz xyzu uut yz* MERGEFORMAT (1-1-14)()xy xyzCCCDD式中， 表示 方向的扩散系数，若流速场均质，物质扩散各向性，则,xyz,z（常数） ，此时式（1-1-14）可写成xyzD* MERGEFORMAT (1-1-15)22()xyzCCCuuDt xyz若随流扩散是一维情况下，则有* MERGEFORMAT (1-1-16)2xt51.5 污染物在水体中迁移解析解设水体是一条很长的渠道，在某个固定断面 开始不断注入浓度为 的污水，使该0t0C处维持在一个恒定的浓度为 的断面。0C设横断面位于坐标 处，设渠道流速为 ，流动方向为 正向，流体是不可以压缩均xux匀流体，则上述问题可以归纳为如下数学模型。* MERGEFORMAT (1-1-17)20x0()lim(,)tCDutxCt初 始 条 件 ：边 界 条 件利用拉普拉斯（Laplace ）变换求数学模型（ 1-1-17）的解。令 ，将微分方程（1-1-17）的两端乘以 ，并从 0 到 范围内对时间 t=0ptCed pte积分，则得* MERGEFORMAT (1-1-18)=2 000(,)(,)pt pttdCuDxCpeedd 常微分方程 的通解为=2 0dCdDpuxx=2 211(,)eexp424uuCxpABpxDD由于当 ， ，因此要 满足边界条件，必须取时 xp2u=CA=0，故可得6=21(,)exp24uuCBpxD注意到 ，可得 ，所以0(,)0C=201(,)exp24uuCpx由拉氏逆变换，可得* MERGEFORMAT (1-1-19)=20111(,)(,)expexp224i ipt ptuuxtxdCxedDD 注意到 ，拉氏逆变换为2e()abp12 22x()ababetetLprfcrfc 2,4uabD20(),()1()xzerfedrfcxerfx其 中把 的值代入式（1-1-17） ，得到数学模型解析解为212,p()abLab和* MERGEFORMAT (1-1-20)002(,) exp22CCxutuxutxterfcrfcD当 时，上式右端第二项可以忽略，于是得到近似解为/0.5Du=* MERGEFORMAT (1-1-21)0(,)2xutxterfc式（1-1-21 ）就是随流情况下一端连续注入污水浓度为 的渠道内污染质的扩散规律。0C若在 t=0 时，整个河流水体中含有污染物的浓度为 ，则此时污染物的扩撒规律为1* MERGEFORMAT (1-1-22)10()22uxDCtterfcerfc71.6 河流一维随流具有降解污染物的弥撒作用的解析解设河流一维随流污染物的弥散方程为* MERGEFORMAT (1-1-23)21sCukCtx其中 为弥散系数， 为污染物的降解系数。sk1k1.6.1 稳态解稳态是指河流均匀河段定常排污条件，即断面、流速、流量不随时间变化， ，此时0Ct（1-1-23 ） 变为* MERGEFORMAT (1-1-24)210sCukx该方程的通解为 12xxAeB对于 ，考虑边界条件 ， ， ,又 ，所以 ,故方程的0xx00,C0BC解为 20,(1)xsuCek24K当不考虑弥散作用时， ，式子（1-2-24 ）变为0sk* MERGEFORMAT (1-1-25)10Cukx解上述方程得 10Kxue