效用、损失和风险(Utility,Loss and Risk) 本章主要参考文献：60，56，86，87，92，129，156，169，183，18431 效用的定义和公理系统一、引言一、引言 为什么要引入效用决策问题的特点：自然状态不确定以概率表示；后果价值待定： 以效用度量。 1.无形后果，非数字量(如信誉、威信、出门带伞问题的后果)需以数值度量； 2.即使是数值量(例如货币)表示的后果，其价值仍有待确定，后果的价值因人而异。 例一：同是 100 元钱，对穷人和百万富翁的价值绝然不同；对同一个人，身无分文时的 100 元， 与已有 10000 元再增加 100 元的作用不同，这是钱的边缘价值问题。例二：礼品抽奖10.50.51000元02500元上图作为商业、经营中实际问题的数学模型有普遍意义 有人认为打赌不如礼品,即1000元 优于02500元0.50.5*由上面两个例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述(表达)后果的实际价值，以便反 映决策的人偏好次序(preference order)的问题*偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，与决策人所处的社会、经济地位，文化素养， 心理和生理(身体)状态有关。* 除风险偏好之外，还时间偏好。 i, 折扣率 ii,其他而效用(Utility)就是偏好的量化，是数(实值函数).Daniel Bernoulli 在 1738 年指出：若一个人面临从给定行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知道与给定行 动有关的将来的自然状态，且这些状态出现的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能 后果的偏好的期望值最高的行动。二、效用的定二、效用的定义义1.符号i,AB(即 APB)读作 A 优于 B：(Prefer(ed) A to B)AB(即 ARB) A 不劣于 BAB(即 AIB) A 无差别于 B (Indifference)ii, 展望(prospect): 可能的前景即各种后果及后果出现概率的组合P=( )pc11,;,;p ciipcnn,既考虑各种后果 (consequence)又考虑了各种后果的概率(probability or likelihood)分布所有 P 的集合记作 piii,抽奖(lottery)与确定当量1.0 C3 C1 C2 p 1-p 若 ( ; )C1p C,2(),13 p C则称 确定性后果 为抽奖 ( ; ) 的确定当量C1p C,2(),13 p C2.效用的定义(A)在集合 p 上的实值函数 u，若它和 p 上的优先关系一致，即:若 p , iff u()u()pp12,p1p2p1p2则称 u 为效用函数三、效用存在性公理三、效用存在性公理 理性行理性行为为公理公理Von Neumann-Morenstern, 1994 169 公理 1 连通性 (Connectivity)又称可比性p, 则 or or pp12,p1p2p1p2p2p1公理 2 传递性 (Transitivity)p, 若, 则 ppp123,p1p2p2p3p1p3公理 3 替代性公理 ( 加等量时优先关系不变)若p, 且 0 1ppp123,p1p2则 对任何p ,必有 +(1-) +(1-)p3p1p3p2p3或者表达成：, 则 +(1-) +(1-)p1p2p1p2p1p2即二种后果中，决策人所偏好的后果出现机会较大的情况是决策人所喜爱的。 公理 4 连续性公理 - 偏好的有界性若 则 存在 01, 01, p1p2p3使 +(1-) +(1-)p1p3p2p1p3由 +(1-) 可知 不是无穷劣,即 u()p1p3p2p3p3由 +(1-) 可知 不是无穷优, 即 u() p2p1p3p1p1即使是死亡，亦不至于无穷劣p3例：i,过马路1 107无法到 目的地 不过 过 死亡 到目的地 若死亡为无穷劣，则不能过马路ii,狂犬病疫苗1 106注射 不注射 20 元 死亡 生存 上述公理看来是合乎理性的，事实上并不尽然. 例：Allais 悖论（Paradox 例如，1953 年 Allais 在一次学术会议上提出如下问题，请效用理论权威 Svage 回答i.ABi.ii.ii.$2,500,000$500,000$500,000$0$0$0$0$0$0$0$0$500,000$500,000$2,500,0001.0.89.1.01.11.89.1.9Savage 的回答是 A 组宁择 i，B 组宁择 ii， Allais 指出：B 组的 i, ii, 均以 0.89 的$500,000 取代 0.89 的 $0，即与 A 组的 i,ii,相对应，照 公理 3、A、B 两组中 i,ii,的优先关系应当不变。Savage 当时语塞。 效用的公理化定公理化定义义在上述公理系统中，若 p 上存在实值函数 u，使i, 当且仅当 u() u() pipjpipjii. u(, ; 1-, )= u() +(1-)u()pipjpipjiii, 对满足上述条件的 , 必有 () =b( )+c , 其中 b, c , b0u1u2u1piu2piR1则 u(P)称为(基数)效用函数*关于线性：将 ii. u(, ; 1-, )= u() +(1-)u() 推广到一般,pipjpipj若p ;0 , i=1,2,m; =1; 则 u( )= u()piiii im 1ipiim 1ipi四、四、基数基数效用效用与序数效用与序数效用 (Cardinal 序数效用定义在后果集 C 上，不涉及概率，可以是整正数 2.基数效用反映偏好强度：(正线性变换下唯一)原数列可变换为:b+c, 2b+c, 3b+c, b+c; 其中 b, c , b0.R1 而序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变换为16,9,4,1;或 8,6,4,2,或 10,7,6,1 等. 序数效用的存在性公理 1.连通性(可比) 2.传递性 3.对任何确定的后果 x，优势集与劣势集均为闭集。(教材：P29 3.1)3.2 效用函数的构造 一、离散型的概率分布一、离散型的概率分布后果元素有限 各后果效用设定的步骤 NM 法由公理 4: 若 ,则可找到 0 0 u 在 x 处凹, 风险厌恶r(x)=-u”(x)/u(x) = 0 u 在 x 处线性, 风险中立 0 在 x 处有递减的边缘价值m(x)=-v”(x)/v(x)=0 在 x 处有不变的边缘价值0 时 u(x)通常是凹的 递减的边缘价值风险厌恶x0 与 x+0.5 u(300)=0.5又 1250.5+0.5 u(125)=0.255500.5+0.5 u(550)=0.75由 00.5+0.5设 a=-250则 u(-250)=-u(500)=-0.72-2500.5+0.5原因：i,价值函数是 S 型ii,在一定范围内相对风险态度不变iii,负债到一定程度以上有冒险倾向Friedmann-Savage 效用曲线(1948):3.4 损失、风险和贝叶斯风险一、一、损损失函数失函数 L有些文献采用损失函数进行分析u(c)=u(,a)l(,a)-u(,a) 则损失函数与效用作用相同为了使损失值非负，可取l(,a)= u(,a)-u(,a) AaSupSup 二、二、风险风险函数函数自然状态集 -参数空间行动集 A -决策空间观察值集 X -测度空间决策规则 :xa , , 为策略空间损失 l(,a)=l(,(x)由于 X 是随机变量，对给定的 ，采用决策规则 时定义风险函数R(,)= l(,(x)EX = l(,(x) f (x |) dx 或 l(,(x) p (x |) x X x X三、三、贝贝叶斯叶斯风险风险r(，)ER(,) 含义： 的先验分布为 ，决策规则为 时风险函数的期望值叫贝叶斯风险即: r(，)= R(,)E= l(,(x) f (x |) dx () d x X或 l(,(x) p (x |) ()x X