5.5 状状态态重构重构问题问题与与 Luenberger 状状态观测态观测器器前已指出，对于状态完全能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系统的极点。事实上，不仅是极点配置，而且系统镇定、解耦控制、线性二次型最优控制 (LQ)问题等，也都可由状态反馈实现。然而，在 5.2 节介绍极点配置方法时，曾假设所有的状态变量均可有效地用于反馈。但在实际情况中，并非所有的状态度变量都可用于反馈。这时需要估计不可量测的状态变量。迄今已有多种无需使用微分来估计不能量测状态的方法。对不能量测状态变量的估计通常称为观测。估计或者观测状态变量的动态系统称为状态观测器，或简称观测器。观测器分为全维状态观测器降维状态观测器最小阶状态观测器或最小阶观测器5.5.1 问题问题的提法的提法在下面有关状态观测器的讨论中，我们用表示被x观测的状态向量。在许多实际情况中，一般将被观测的状态向量用于状态反馈，以便产生期望的控制输入。考虑如下线性定常系统BuAxx (5.27)Cxy (5.28)假设状态向量 可由如下动态方程x)(xCyKBuxAxe(5.29)中的状态来近似，则该式表示状态观测器，其中x称为观测器的增益矩阵。注意到状态观测器的输入eK 为和 ，输出为。式（5.29）中右端最后一项包括可yux量测输出与估计输出之差的修正项。矩阵起yxCeK到加权矩阵的作用。修正项监控状态变量。当此模x型使用的矩阵 A 和 B 与实际系统使用的矩阵 A 和 B之间存在差异时，由于动态模型和实际系统之间的差别，该附加修正项将减小这些影响。图 5.5 所示为带全维状态观测器的系统方块图。图 5.5 全维状态观测器方块图5.5.2 全全维维状状态观测态观测器的器的误误差方程差方程在此讨论的状态观测器的阶数和系统的阶数相等。假设系统由式（5.27）和（5.28）定义。观测器的方程由式（5.29）定义。为了得到观测器的误差方程，将式（5.27）减去式（5.29），可得)(xCCxKxAAxxxe)(xxCKAe (5.30)定义 与之差为误差向量，即xxxxe则式（5.30）可改写为eCKAee)(5.31)由式（5.31）可看出，误差向量的动态特性由矩阵的特征值决定。如果矩阵是稳定矩CKAeCKAe 阵，则对任意初始误差向量，误差向量都将)0( e)(te趋近于零。也就是说，不管和的值如何，)0(x)0(x都将收敛到。如果所选的矩阵的特)(tx)(txCKAe 征值使得误差向量的动态特性渐近稳定且足够快，则任意误差向量都将以足够快的速度趋近于零 (原)(te点)，此时将称为的渐近估计或重构。)(tx)(tx如果系统完全能观测，下面将证明可以通过选择，使得具有任意的期望特征值。也就是说，eKCKAe可以确定观测器的增益矩阵，以便产生期望的矩阵eK。CKAe5.5.3 对对偶偶问题问题全维状态观测器的设计问题，是确定观测器增益矩阵，使得由式（5.31）定义的误差动态方程，以足够eK快的响应速度渐近稳定（渐近稳定性和误差动态方程的响应速度由矩阵的特征值决定）。因此，全CKAe维观测器的设计就归结为如何确定一个合适的，使eK得具有期望的特征值。此时，全维状态观测CKAe器的设计问题实际上就变成了与 5.2 节讨论的极点配置相同的问题。考虑如下的线性定常系统CxyBuAxx在设计全维状态观测器时，我们可以求解其对偶问题。也就是说，求解如下对偶系统zBnCzAzTTT的极点配置问题。假设控制输入为Kz如果对偶系统是状态完全能控的，则可确定状态反馈增益矩阵 K，使得反馈闭环系统的系统矩阵得到一组期望的特征值。KCATT如果,是状态观测器系统矩阵的期望特12n征值，则可通过取相同的作为其对偶系统的状态反i馈闭环系统的期望特征值，从而)()()(21nTTsssKCAsI注意到和的特征值相同，即有KCATTCKAT)()(CKAsIKCAsITTT比较特征多项式和观测器的系)(CKAsIT统矩阵（参见式（5.31）的特征多项式，可找出和的关系为)(CKAsIeeKTKT eKK 因此，观测器问题与极点配置问题具有对偶关系，即在下面的讨论中，我们就可将给定线性定常系统的观测器设计问题，考虑为其对偶系统的极点配置问题，即首先由极点配置方法确定出其对偶系统的极点配置增益矩阵 K，然后利用关系式，确定出T eKK 原系统的观测器增益矩阵 K。5.5.4 可可观测观测条件条件如前所述，对于使具有期望特征值的观测CKAe器增益矩阵的确定，其充要条件为原给定系统的对eK偶系统vCzAzTT是状态完全能控的。该对偶系统的状态完全能控的充要条件为)(1TnTTTTCACAC的秩为 n 。而这正是由式(5.27)和(5.28)定义的原系统的状态完全能观测性条件。这意味着。由式（5.27）和(5.28)定义的系统的状态观测器存在的充要条件是系统完全能观测。下面将利用上述对偶关系，介绍全维状态观测器的设计算法，包括相应的 Bass-Gura 算法、直接代入法，以及爱克曼公式。5.5.5 全全维维状状态观测态观测器的器的 Bass-Gura 算法算法考虑由下式定义的单输入单输出线性定常系统BuAxx (5.32)Cxy (5.33)式中， 。假设系统是状态完全能观测的，又设系统结构如图5.5 所示。在设计全维状态观测器时，若将式(5.32)、(5.33)给出的系统变换为能观测标准形，则相应的设计问题就相当方便了。考虑对偶关系，将式（5.32）和（5.33）的系统变换为能观测标准形，可按下列步骤进行，即首先定义一个变换矩阵 P，使得(5.34)1)( WRP式中 R 是能观测性矩阵)(1TnTTTTTCACACR (5.35)且对称矩阵 W 由式（5.6）定义，即0001001011132121aaaaaaWnnnn式中，是由式（5.32）给出的如下特征方程的系数ia显然，由于假设系统是完全能观测的，所以矩阵WR 的逆存在。现定义一个新的 n 维状态向量 Px (5.36)则式（5.32）和（5.33）为(5.37)BuPAPP11(5.38)CPy 式中(5.39)111100001000aaaAPPnn(5.40)oonnonnbabbabbabBP11111 (5.41) 1000CP式（5.39）到（5.41）的推导见例 5.7 和 5.8，此时式（5.37）和（5.38）即是能观测标准形。从而给定一个系统的状态方程和输出方程，如果系统是完全能观测的，并且通过采用式（5.36）的变换，将原系统的状态向量变换为新的状态向量 ，则可将给定系统的状态方x程和输出方程变换为能观测标准形。注意，如果矩阵A 已经是能观测标准形，则 P = I。如前所述，选择由)(xCyKBuxAxe=(5.42)CxKBuxCKAee)(给出的状态观测器的动态方程。现定义(5.43)Px 将式（5.43）代入式（5.42），有CPKPBuPPCKAPee111)(5.44)由式（5.37）减去式（5.44），可得(5.45)()(1PCKAPe定义则式（5.45）为(5.46)PCKAPe)(1要求误差动态方程是渐近稳定的，且以足够快的)(t速度趋于零。因此，确定矩阵的步骤是：首先选择eK观测器的极点（的特征值），然后确定，使CKAeeK其等于期望的观测器极点。注意，可得WRP1nnnnnnnnekkkkCACACACaaaaaaKP12112 13212110001001011式中由于是一个 n 维向量，则令eKP1111nneKP(5.47)参考式（5.41），有11111000000000 100nnnneCPKP和CPKPAPPPCKAPee111)(112211100010001000aaaannnnnn特征方程为0)(1PCKAPsIe即01000010001000112211 asasasasnnnnnn或者(5.48)可见，每个 i只与特征方程中的一个系数有关。假设误差动态方程的期望特征方程为(5.49)0)()(* 12* 21* 121 nnnnnn asasasassss注意，期望的特征值确定了被观测状态以多快的i速度收敛于系统的真实状态。比较式（5.48）和(5.49)的s 同幂项的系数，可得nnnaaaaaa222111从而可得nnnaaaaaa222111于是，由式（5.47）得到1* 11* 1*111aaaaaaKPnnnnnne 因此(5.50)1* 11* 1*11* 11* 1*)(aaaaaaWRaaaaaaPKnnnnnnnne式（5.50）确定了所需的状态观测器增益矩阵。eK如前所述，式（5.50）也可通过其对偶问题由式（5.13）得到。也就是说，考虑对偶系统的极点配置问题，并求出对偶系统的状态反馈增益矩阵 K。那么，状态观测器的增益矩阵可由确定（见例 5.16）。eKTK一旦选择了期望的特征值（或期望的特征方程），只要系统状态完全能观测，就能设计出全维状态观测器。Luenberger 曾经指出，当观测器期望极点的选择，使衰减太快，即使特征值的实部太负，将导CKAe致观测器的作用接近于一个微分器，从而使频带加宽，不能容忍地将高频噪声分量放大，而且也存在观测器的可实现性问题 (因为衰减速度太快，则矩阵较大)，eK因此 Luenberger 建议，进行观测器本身的极点配置时，只需使观测器的期望极点比由此组成的闭环反馈系统的特征值稍大一些即可。一般地，选择的期望BKA特征值，应使状态观测器的响应速度至少比所考虑的闭环系统快 2-5 倍。如前所述，全维状态观测器的方程为(5.51)KyBuxCKAxe)(注意，迄今为止，我们假设观测器中的矩阵 A 和B 与实际系统中的严格相同。实际上，这做不到。因此，误差动态方程不可能由式（5.46）给出，这意味着误差不可能趋于零。因此，应尽量建立观测器的准确数学模型，以使相应的误差小到令人满意的程度。5.5.6 求状求状态观测态观测器增益矩器增益矩阵阵的直接代入法的直接代入法eK与极点配置算法的情况类似，如果系统是低阶的()，可将矩阵直接代入期望的特征多项式进行3neK计算。例如，若 是一个 3 维向量，则观测器增益矩阵x可写为eK 321eeee kkkK将该代入期望的特征多项式eK通过使上式两端 s 的同次幂系数相等，即可确定出、和的值。如果 n =1,2 或者 3，其中 n 是状1ek2ek3ek态向量 的维数，则该方法十分简便（虽然该方法可应x用于 n = 4, 5, 6