第一节 全等与相似三年7考 高考指数:1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.2.会证明、应用直角三角形射影定理.1.利用平行线分线段成比例定理及直角三角形的射影定理进行有关的证明和计算是高考重点.2.本部分主要以填空题和解答题为主，其中以相似三角形为背景的综合题是热点题型，同时相似三角形与圆、方程、三角、函数等知识的结合多以探索性、阅读性命题类型出现.1.图形变化的不变性与平移、旋转、反射(1)图形变化的不变性图形在变化过程中，有些性质改变了，有些性质仍然保持_.常见的图形变化，如平移、_、_、相似(包括位似).不变旋转轴对称(2)平移、旋转、反射平移变换：图形的_过程称为平移变换.旋转变换：图形的_过程称为旋转变换.反射变换：一个图形F绕一条直线l翻转_得到另外一个图形F，则F与F关于l_，这种图形的变化过程称为反射变换，直线l称为反射轴.平移旋转180对称平移变换、旋转变换、反射变换的性质一个图形通过平移变换、旋转变换、反射变换变为另外一个图形，其对应线段的长度_，对应角的大小_.因此，变换前后两个图形是_的，但图形的位置可能发生改变.不变不变全等【即时应用】如图，已知ABC与DEF是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10 cm，较小锐角为30,将这两个三角形摆成如图所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图中的ABC绕点C顺时针方向旋转到图的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为_ cm(保留根号).【解析】在RtABC中，AB=10 cm,A=30,BC= AB=5 cm.在图中，BC=CE,B=60，BCE是等边三角形，ECA=30,FGD=90.在RtFGD中，D=30,FD=AC= cm,答案：如图，ABC的内部有一点P，点D、E、F是点P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点.已知BAC=70,ABC=60,ACB=50,则ADB、BEC、CFA的和等于_度.【解析】分别连接PA、PB、PC.点D与点P关于AB对称，AD=AP,BD=BP,ADP=APD,BDP=BPD，ADB=APB;同理BEC=BPC,CFA=CPA.APB+BPC+CPA=360,ADB+BEC+CFA=360.答案：3602.相似与位似(1)相似变换：两个图形的形状相同，但大小不同，这两个图形是_.把一个图形按一定比例_或_，这种图形的变化过程称为相似变换.(2)位似变换：把一个图形变为它的_图形，这种图形的变化过程称为位似变换.相似图形放大缩小位似(3)相似与位似变换的性质一个图形通过相似变换(或位似变换)变为另外一个图形,其形状_，对应角的大小_，但图形的_发生了改变.位似变换是一种特殊的_变换.不变不变位置相似【即时应用】如图，在直角坐标系中，ABC三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点O为位似中心，将ABC缩小，使变换后得到的DEF与ABC对应边的比为12，则线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为_.【解析】DEF与ABC对应边的比为12,在第一象限内，DEF各个顶点的坐标分别是D(1,1),E(2,1),F(3,2),线段DF中点的坐标为同理，在第三象限内，线段DF的中点的坐标为线段AC的中点P变换后对应的点的坐标为 或答案： 或如图，已知点D、E分别是ABC的AB、AC边上的点，DEBC,且ADDB=23，若SADE=4,则S四边形BCED=_.【解析】DEBC,ADEABC.ADDB=23,ADAB=25, SADE=4,S四边形BCED=21.答案：213.平行线分线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段_.(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段_.(3)三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边_.成比例成比例对应成比例【即时应用】(1)如图，在ABC中，DEBC,BD= AD,则AEAC=_.(2)在ABC中，AD是角平分线，AB=5，AC=4，BC=7，则BD=_.【解析】(1)DEBC,又(2)设BD=x,则DC=7-x.AD是ABC的角平分线，即 解得答案：4.直角三角形的射影定理直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的_，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的_. 比例中项比例中项【即时应用】一直角三角形两条直角边之比是12，则它们在斜边上射影的比是_.【解析】如图,令ACAB=12,AC、AB在斜边BC上的射影分别为DC、DB，由射影定理，得AC2=CDBC,AB2=BDBC,CDBD=AC2AB2=14.答案：14 在RtABC中，ACB=90，CDAB于点D，AC=3,BC=4，则AD=_.【解析】先由勾股定理，得AB=5.再由射影定理，得AC2=ADAB,答案：平行线分线段成比例定理【方法点睛】1.利用平行线分线段成比例定理的注意事项利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果.2.三角形内角平分线定理的应用三角形内角平分线定理反映了三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.凡涉及与三角形内角平分线有关的比例线段及相关计算问题，都可以考虑应用这个定理. 【例1】(1)(2012佛山模拟)如图，在ABC中，DEBC,EFCD，若BC=3，DE=2,DF=1，则AB的长为_.(2)如图，在ABC中，AB=AC，CD是角平分线，A=36,AB=1,则CD=_.【解题指南】(1)这是一道利用平行线分线段成比例定理的计算题.由已知条件分析知，需要中间比例式进行转换，即由及 等可以得出AB的长.(2)注意到本题图中的ABC、ACD、BCD都是等腰三角形，可以得到BC=CD=AD，然后利用三角形内角平分线定理列方程求解.【规范解答】(1)DEBC，又EFCD, AF=2FD=2,AD=3.又DEBC, BD=AB=AD+BD=答案：(2)AB=AC,A=36,B=ACB=72.CD是角平分线，ACD=BCD=36,ACD=A,BDC=B=72.BC=CD=AD.设CD=x,则BC=AD=x,BD=1-x.CD是ABC的角平分线，即x2=1-x,解得 (已舍去负值).答案：【互动探究】本例(1)中若BC=4，DE=3，DF=1，其他条件不变，则AB的长为_.【解析】DEBC, 又EFCD, AF=3FD=3,AD=4.又DEBC, 答案：【反思感悟】本例(1)灵活运用了平行线分线段成比例定理，先利用DEBC，EFCD得到比例式后，再进行巧妙地转化比例式，从而解决问题，这是在比例式的证明和计算中常见的一种方法.相似三角形的判定和性质【方法点睛】1.相似三角形的判定思路已知条件判定思路一对对等角找一对对等角或找夹边夹边 成比例两边边成比例找两边边的夹夹角相等含有等腰 三角形找顶顶角相等或找一对对底角相等或找腰和底对应对应 成比例 2.相似三角形性质的应用(1)运用相似三角形的性质解决问题，主要考虑相似三角形的对应边、对应角、周长、面积之间的关系.(2)相似三角形的性质多用于求某条线段的长度，求证比例式的存在、求证等积式的成立等.【提醒】在做题时应注意认真观察图形特点，确定好对应边、对应角等. 【例2】(1)如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD,AB=2 m，CD=6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则AB与CD间的距离是_ m.(2)如图，梯形ABCD中，ABCD,且AB=2CD,E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M.若DB=9，则BM=_.【解题指南】(1)先判定PAB与PCD相似，再利用相似三角形对应高的比等于相似比，求出AB与CD间的距离.(2)由已知条件可判定四边形BCDE是平行四边形，所以CBDE，从而证明EDMFBM，再根据对应边成比例可求出BM的值.【规范解答】(1)根据ABCD，知PABPCD.设P到AB的距离为x m，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，得 解得x=0.9.AB与CD间的距离为2.7-0.9=1.8(m).答案：1.8(2)E是AB的中点，AB=2BE.又AB=2CD,CD=EB.又ABCD,四边形BCDE是平行四边形,CBDE,DEM=BFM，EDM=FBM,EDMFBM,F是BC中点,DE=BC=2FB,DM=2BM,答案：3【互动探究】本例(2)中在所有条件不变的情况下，求SFBMSEDM=_.【解析】由FBMEDM可知FBDE=12，SFBMSEDM=14.答案：14【反思感悟】判定三角形相似时，首先找出两个三角形中已经具备了哪些已知条件，再通过推理推出隐含的条件，选择相似三角形的判定方法作出判定即可.当三角形判定相似后，可再根据相似三角形的性质，求出线段的长、三角形的周长及面积等.【变式备选】已知：如图，在ABC中，D、E分别是BC、AB上任意点，EFMCDM，EF=1,CD=3，则EFM与CDM的周长之比为_.【解析】EFMCDM,EFM与CDM的周长之比为EFCD=13.答案：13直角三角形的射影定理的应用【方法点睛】直角三角形的射影定理的理解及解题思路(1)直角三角形的射影定理建立了直角三角形中边与射影之间的关系，揭示了直角三角形的内在关系.(2)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意直角三角形的射影定理的其他变式. 【例3】(1)在ABC中，ACB=90,CDAB于点D，ADBD=23,则ACD与CBD的相似比为_.(2)如图，在RtABC中，ACB=90,CDAB于点D，DEAC于点E，DFBC于点F，CE=3,CF=4,则AB=_.【解题指南】(1)可由射影定理求出CD的长，再求相似比.(2)先由勾股定理求CD的长，再由射影定理求AC、BC的长，最后由勾股定理求出AB的长.【规范解答】(1)设AD=2，则BD=3，ABC中，ACB=90,CDAB,CD2=ADDB=23=6,即ACD与CBD的相似比是答案：(2)由勾股定理，得在RtACD中，由射影定理，得CD2=CEAC,在RtBCD中，由射影定理，得答案：【互动探究】本例(2)中条件不变，则ABC的面积为_.【解析】由例题中解答可知答案：【反思感悟】本例(1)是射影定理与相似三角形的综合应用题，本例(2)主要应用了射影定理,熟练运用射影定理及比例式的变形转化是解决问题的关键.【变式备选】如图，已知ABC中，ACB=90，CDAB于D，且AD=6 cm，DB=2