返回 上页 下页 结束 1.4 全概率公式与贝叶斯公式一.全概率公式二.贝叶斯公式1返回 上页 下页 结束 一、全概率公式样本空间划分的定义：设S为试验E的样本空 间，B1,B2，,Bn为E的一组事件.若BiBj=, ij, i,j=1,2, ,n;B1B2Bn=S, 则称B1,B2, ,Bn为样本空间S的一个划分. 全概率公式：设试验E的样本空间为S,A为E的 事件，B1,B2，,Bn为S的一个划分，且P(Bi)0 (i=1,2, ,n), 则 2返回 上页 下页 结束 3证明 因为事件B1,B2，,Bn为样本 空间的一个划分，即Bi 两两互不相 容，P(Bi)0(i=1,2, ,n)，而且B1B2Bn=S. 于是有 AB1AB2ABn=A. 其中ABi也是两两互不相容.B1AB5B4B3B2由概率的可列可加性 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn).利用乘法定理即得返回 上页 下页 结束 例14考卷中一道选择题有4个答案，仅有一个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道 而乱猜是等可能的. 如果这个学生答对了，求它 确实知道正确答案的概率. 解 样本空间可以划分为事件A:知道正确答案与:不知道.以B表示事件:学生答对，则A B， P(AB)P(A)12.P(BA)=1，而P(B ) 14. 由全概率公式 P(B)P(A)P(BA)+P( )P(B )=58， 故 P(AB)P(AB)P(B)45返回 上页 下页 结束 二. 贝叶斯公式5设试验E的样本空间为S.A为E的事件，B1,B2， ,Bn为S的一个划分，且P(A)0, P(Bi)0, i=1,2, ,n，则上式称为贝叶斯(Bayes)公式.返回 上页 下页 结束 6贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用. 全概 率公式用于“由因求果”问题，而贝叶斯定理 一般用于“执果寻因”问题，在使用时要分清是什 么问题，确定应用哪个公式.贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方 面的应用. 假定B1, B2, , B 是导致试验结果的 “原因”，P(Bi)称为先验概率， 它反映了各种 “原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总 结，在这次试验前已经知道. 现在若试验产生了 事件A,这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”.返回 上页 下页 结束 7条件概率P(BiA)称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识. 例如在医疗诊断中，为了诊断病人到底是患了毛病B1, B2,Bn中的哪一种，对病人进行观察与检查，确定了某个指标A(譬如是体温、脉搏血液中转氨酶含量等等)，医生想用这类指标来帮助诊断. 这时就可以用贝叶斯公式来计算有关概率.首先必须确定先验概率P(Bi)，这实际上是确定人返回 上页 下页 结束 8患各种毛病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其次是要确定P(ABi)，这里当然主要依靠医学知识. 有了它们，利用贝叶斯公式就可算出P(BiA)， 显然，对应于较大P(BiA)的“病因”Bi，应多加考虑.在实际工作中，检查的指标A一般有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助.在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的.返回 上页 下页 结束 先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式 中的P(Bi)，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现.后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式P(BiA)P(ABi)P(Bi)/P(A)中的P(BiA)，是“执果寻因”问题中的“因”.先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础.9返回 上页 下页 结束 例210某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制 造厂提供的. 根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂 次品率 提供元件的份额1 002 0152 001 0803 003 005设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且 无区别的标志. (1)在仓库中随机地取一只元件， 求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只 元件,若已知取到的是次品，为分析此次品出自 何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分 别是多少?试求这些概率.返回 上页 下页 结束 11解 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(il,2,3) 表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.易 知，Bl，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)0.05， P(AB1)=0.02，P(AB2)=0.01，P(AB3)=0.03.由全概率公式P(A)= P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)+P(AB3)P(B3)=0.0125.返回 上页 下页 结束 12以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可 能性最大.由贝叶斯公式返回 上页 下页 结束 例313根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验 具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳 性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有 P(AC)0.95，P( )0.95. 现在对自然人群 进行普查，设被试验的人患有癌症的概率0.005， 即P(C)0.005，试求P(CA).解 已知P(AC)0.95， P(A )1一P( )0.05，P(C)=0.005， P( )0995，由贝叶斯公式返回 上页 下页 结束 例414对以往数据分析结果表明，当机器调整得良 好时，产品的合格率为98，而当机器发生某种 故障时，其合格率为55. 每天早上机器开动时， 机器调整良好的概率为95. 试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率 是多少? 解 设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良 好”.已知P(AB)0.98，P(A )0.55， P(B)0.95，P( )0.05，由贝叶斯公式得返回 上页 下页 结束 15当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整 良好的概率为0.97. 这里，概率0.95是由以往的 数据分析得到的，是先验概率.而在得到信息(即 生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修 正的概率(即0.97)是后验概率.有了后验概率就能 对机器的情况有进一步的了解.