本章教学目标： (1) 单个正态总体均值和方差的区间估计。 (2) 总体比例的区间估计。 (3) 均值和比例置信区间估计中的样本容量确定 。 (4) 两个正态总体的均值差和方差比的区间估计 。 (5) 单侧置信区间估计。 第6章 置信区间估计12由于点估计存在误差，因此仅对总体参数作出点 估计是不够的，还需要了解估计的精度及其误差。参数的区间估计就是在给定的可信度下，估计未 知参数的可能取值范围。设 为总体分布的未知参数，若由样本确定的两个统计量和对给定的概率 (0 Z = 0f (x)x z1- 二. 总体均值的区间估计如图所示， ( Z )=1- ，因此，可由正态分布表得到 Z 。 如：要查 Z0.025，由正态分布表可查得： (1.96) = 0.975 = 1-0.025， 故 Z0.025 =1.9611由正态分布的性质可得对给定的置信度1-， 0f (x)x z/2/2-z/2/21- N(0,1)由此可得从而的置信度为 1- 的置信区间为为便于记忆和理解，将 的置信区间表示为如下形式： 2. 2 已知时总体均值的区间估计有其中 d 称为估计的允许误差。 12可用 Excel 的统计函数 NORMSINV 返回 Z 。语法规则如下： 格式：NORMSINV(1-) 功能： 返回 Z 的值。 说明： NORMSINV() 返回的是 Z1- 的值。用 Excel 求 Z133. t 分布设 XN(0, 1)，Y 2(n)， 且 X 与 Y 相互 独立， 则随机变量服从自由度为 n 的 t 分布，记为 tt(n)。14t 分布密度函数的图形标准正态分布分布是 t 分布的极限分布。 当 n 很大时，t 分布近似于标准正态分布。xf (x)0n = 1n = 4n = 10n = ，N (0, 1)150xf (x)t 分布的右侧 分位点 t(n)t(n)为 t 分布中满足下式的右侧 分位点：P t t ( n ) = 由给定的概率 ，可查表得到 t(n)。由 t 分布的对称性，可得：t1-(n)=-t(n)。t(n)t1-(n)= - t(n)16可用 Excel 的统计函数 TINV 返回 t (n)。语法规则如下： 格式：TINV( 2 , n ) 功能:返回 t (n)的值。 说明：TINV(, n )返回的是 t/2(n)的值。用 Excel 求 t /2(n)174. 2 未知时总体均值 的区间估计 t(n-1)设总体 XN( , 2 )， 和 S2 分别为样本均值和样本方差。由此可得 的置信度为 1- 的置信区间为因此，对给定的置信度 1-，有即X1, X2, , Xn 为 X 的容量为 n 的样本，可以证明：18用样本比例代替总体比例，设总体比例为 P， 则当 nP 和 n (1-P) 都大于5时， 样本成数 p 近似服从均值为 P， 方差为 P (1-P)/n 的正态 分布。从而对给定的置信度1-，由可得总体成数 P 的置信度为 1- 的置信区间为6.2 总体比例的区间估计19【例3】求例1中元件平均寿命 的95%置信区间。故所求 的 95% 置信区间为 解：由例1， /2=0.025，=1423.1， S=196.5 ， =1-0.95=0.05，n=10， 查表得 t0.025(9)=2.2622可用 Excel 的【工具】“数据分析”“描述统计” 求解正态总体均值 的置信区间。20课堂练习2：某车床加工的缸套外径尺寸 XN( , 2 )， 下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺寸(mm) ，90.01，90.01，90.02，90.03，89.9989.98，89.97，90.00，90.01，89.99（ ， ）求 的置信度为95%的置信区间；21【例4】某厂为了解产品的质量情况，随机抽取了300件产品 进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率的置信度为 95%的置信区间。解：产品次品率为比例， =1-0.95=0.05，/2=0.025，n=300,，查表得 Z0.025=1.96，样本成数该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间为22案例思考题国外民意调查机构在进行民意调查时，通常要求 在95%的置信度下将调查的允许误差(即置信区间的 d 值)控制在3%以内。 问为满足该调查精度要求，至少需要多大的样 本？ 如果要求置信度达到99%，调查误差仍为3%， 此时至少需要多大的样本？23案例思考题解答(1)本案例中，故需要的样本容量至少为24案例思考题解答(2)如果要求置信度达到99%，则Z/2=Z0.005=2.575，256.3 样本容量确定前面的分析都是在给定的样本容量和样本数据下 求置信区间。但在实际应用中，应当在随机抽样前 就确定所需抽取的样本容量。 抽取的样本容量过大，虽然可以提高统计推断的 精度，但将增加不必要的人力、物力、费用和时间 开支； 如果抽取的样本容量过小，则又会使统计推断的 误差过大，推断结果就达不到必要的精度要求。 确定样本容量的原则 在满足所需的置信度和允许误差条件(置信区 间的 d 值)下，确定所需的最低样本容量。261.总体均值区间估计时样本容量的确定在给定置信度和允许误差 d 的条件下，由可得其中总体标准差或样本标准差也是未知的，通 常可以先通过小规模抽样作出估计。由于使用的是近似公式，可知实际采用的最低 样本容量应比计算结果稍大。27【例6】在例3 元件平均寿命的区间估计问题中，要求在95%的置信度下，使估计的允许误差不超过其平均寿命 的10%，并设已得到例1的先期抽样数据。求所需的最低样本容 量。 其他条件不变，在99%的置信度下求所需最低样本容量。 解：由例1，S=196.5，d = 1423/10 =142.3可知取 n =10 已能满足所给精度要求。可知此时取 n =20 就能满足所给精度要求。在总体均值的区间估计中，通常 n =30 就称为大样本。在大样本时，无论总体服从什么分布，都可用前述公式进 行区间估计。282.总体比例区间估计时样本容量的确定其中样本成数 p 同样可先通过小规模抽样作出估 计，也可根据其他信息估计，或取 0.5。29【例7】某企业要重新制定产品抽样检验的规范。已知过 去检验的次品率在3.6%左右，现要求允许误差不超 过2%，置信度为95%。问每次至少应抽查多少产品 ？ 解：由题意，要推断的是总体成数， p =0.036，1-p = 0.964，d = 0.02， = 0.05， z/2 = z0.025 = 1.96故每次至少应抽查 334 件产品。由此可知，在总体比例的区间估计问题中，要达 到一定的精度要求，样本容量至少要在几百以上。30【例5】(1)求例1中元件平均寿命的95%置信下限。(2)求元件寿命方差的95%置信上限。解:(1)从而 的单侧 1- 置信下限为本例中，t 0.05(9)=1.8331，故所求置信下限为1423.1-1.8331196.5/ 该在95%的置信度下，该元件的平均寿命大于 1309.2小时。 =1390.2可得由6.4 单侧置信限的区间估计 31同理可得 2 的置信度为 1- 的单侧置信上限为本例中，故所求2的95%置信上限为 9196.52/3.325 = 323.32 (小时2)由以上分析可知，求单侧置信限与求双侧置信 限的差别仅在于用相应分布的右侧 分位点代替 双侧区间估计公式中的右侧 /2 分位点。解(2)： 2 的置信上限32区间估计小结 P 2 2已知 2未知双侧双侧双侧双侧单侧上限单侧上限单侧下限单侧下限33