1-1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值 ,试分别指出它们的绝对误差限,相对误差限和有效数字的位数. x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.一.习题1（第10页）解 绝对误差限分别为: 1=0.510-3,2=0.510-4,3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 .相对误差限分别为: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%.有效数位分别为: 4位,4位,3位,4位,1位.1-2.下列近似值的绝对误差限都是0.005,试问它们有几位有效数字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032 解 有效数位分别为: 3位,1位,0位.1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字? 解 因为101/2=3.162=0.316210,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有r=0.5101-n/3.1621 ,(G)=31. 实际上,(B)=1/31/2(G)=1/3.3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.解 直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称正定矩阵,故当00, (1)=-sin10, 所以方程在区间0,2内有根,建立迭代格式4-5.验证区间0,2是方程x3+2x-5=0的有根区间,并建立一个收敛的迭代格式,使对任何初值x00,2都收敛,并说明理由.,由于 01,试问如何将x=(x)化为适于迭代的形式?将x=tanx化为适于迭代的形式,并求在x=4.5附近的根.由于|-1(x)|=1/|(x)|1/k 0),分别导出求 的迭代公式,并求 由于解 迭代格式分别为 所以对(1)有4-13.证明迭代公式：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0, 1,2,是求,对(2)有证明 设 的三阶方法.,则有: =(2+3a)/(32+a) 故 2=a , 即又由于 所以有因此是三阶方法.五.习题5 (第131页)5-1.用Gerschgorin圆盘定理估计下列矩阵的特征值.解 (1)三个圆盘为|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.是相互独立的,因此,三个特征值分别为;(2)三个圆盘为|-4|2,|-2|1,|-9|2.前两个圆盘连通,后一个独立,因此, 1,2,落在前两个圆盘的连通区域内, 7311.0.811.2 , 1.622.4 , 2.733.35-5.求矩阵A按模最大和最小特征值.其中解 用幂法求A的按模最大特征值,计算公式为:v(k)=Au(k-1)k=max(v(k)u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:取17=19.301 k01234567u1(k)11111111 u2(k)10.51850.71270.64870.67480.66590.66930.6681 u3(k)10.37040.50110.43660.45630.44820.45100.4499 k2717.148220.135818.979819.398419.244619.301解 用反幂法求A的按模最小特征值,计算公式为:Av(k)=u(k-1)k=max(v(k)u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:k01234567 u1(k)11-0.1318-0.6500-0.1902-0.3689 -0.0590-0.2550 u2(k)1- 0.18920.14931-0.33231-0.58111u3(k)10.21621-0.39691-0.69171-0.9204 k0.11310.1204-0.1353-0.2192-0.1659- 0.2225-0.1724k89101112131415 u1(k)- 0.02920.19750.06170.15640.09160.13550.10580.1259u2(k)- 0.7168- 0.9940-0.7713- 0.9089-0.8119- 0.8765-0.8319- 0.8618 u3(k)11111111 k- 0.23300.17940.23450.19380.21970.20160.21370.2054 取n1/15=4.8686 5-7.利用带位移的反幂法计算矩阵的特征值.解 作位移矩阵B=A-7E ,建立计算公式:Bv(k)=u(k-1)k=max(v(k)u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.取初值u(0)=(1,1,1)T,计算结果如下:k01234567 u1(k)11111111 u2(k)10.750.72220.71620.71480.71440.71430.7143 u3(k)1-0.4-0.8044- 0.9403-0.9828-0.9951-0.99870.9998k-2-1.125- 1.0278-1.0067-1.0018-1.0004-1.0000取7+1/7=6 5-9(2)利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中解 记取p=1，q=2，则有cos=(1+t2)-1/2=0.7071, sin=tcos0.7071 类似地有所以取 17.37228 ,22.99991 ,31.627815-10.设矩阵H=E-2xxT,向量x满足xTx=1,证明:(1)H为对称矩阵,即HT=H; (2)H为正交矩阵,即HTH=E;(3)H为对合矩阵,即H2=E. 证明 (1)因为HT=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H对称.6-1.当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式p2(x).(2)因为HTH=(E-2xxT)T(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT=E,故H正定. (3)由(1)和(2)即得,H是对合矩阵.六.习题6 (第180页)解法一. 基函数法:p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x) 6-2.设l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3为插值节点的3次插值基函数,求解法二. 待定系数法,设p2(x)=(x-1)(ax+b), 则有p2(x)=-3l1(x)+4l2(x) 2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得,a=5/6, b=7/3, 所以p2(x)=1/6(x-1)(5x+14)6-3.设l0(x),l1(x),ln(x)是以x0,x1,xn为节点的n次Lagrange插值基函数,求证:解 证明 (1)记(x)=xk,则yj=(xj)=xjk,j=0,1,n.于是6-4.设(x)C2a,b,且(a)=(b)=0,证明 证明 以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0,故(2)记(t)=(t-x)k,则yj=(xj)=(xj-x)k,j=0,1,n.于是取t=x,则有其中,|(x)|=|(x)-L1(x)|6-5.利用y=的近似值,并由误差公式给出误差界,同时与实际误差作比较.解 由二次Lagrange插值得:在x=100,121,144点的函数值 ,用插值方法求实际误差：6-8.(x)=x5+4x4+3x+1,求差商20,21,25和20, 21,26.解 20,21,25= 20,21,26= 0 6-9.设(x)=x5+x3+1, 取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5, x4=1,作出(x)关于x0,x1,x2,x3,x4的差商表,给出(x)关于x0,x1,x2,x3的Newton插值多项式,并给出插值误差.解 差商表为 xk(xk)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 x0=-1 x1=-0.8 x2=0 x3=0.5 x4=1-1 0.16032 1 1.15625 35.8016 1.0496 0.3125 3.6875-4.752 -0.567 3.3752.79 2.19-0.3Newton插值多项式为: |R3(x)|=|-1,-0.8,0,0.5,x(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| 6-10.设(x)=x4+2x3+5, 在区间-3,2上, 对节点x0= -3,x1=-1,x2=1,x3=2,求出(x)的分段三次Hermite插值多项式在每个小区间xi,xi+1上的表达式及误差公式.解 在-3,-1上,由y0=32,y1=4,y0=-54,y1=2,h=2,得N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8) +2.79(x+1)(x+0.8)x5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)| H3(x)=320(x)+41(x)-540(x)+21(x) 令0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所以0(x)=(x+1)2(x+4)/4同理可得: 0(x)=(x+3)(x+1)2/41(x)=-(x+3)2x/41(x)=(x+3)2(x+1)/4H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x-13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1)=-6x3-22x2-24x-4所以有误差为R(x)=(x+3)2(x+1)2类似地,在区间-1,1上有H3(x)=2x3+2x2+4R(x)=(x+1)2(x-1)2H3(x)=写到一起就是R(x)=在区间1,2上有H3(x)=8x3-13x2+12x+1R(x)=(x-1)2(x-2)2-6x3-22x2-24x-4 , -3x-12x3+2x2+4 , -1x18x3-13x2+12x+1 , 1x2(x+3)2(x+1)2 , -3x-1(x+1)2(x-1)2 , -1x1(x-1)2(x-2)2 , 1x26-12.确定a，b，c使函数是一个三次样条函数。解 因为S(x)是分段三次多项式,故只需S(x)C20,3由 1=S(1-0)=S(1+0)=c ,得 c=1所以,当a=b=3,c=1时,S(x)是三次样条函数.6-13.确定a，b，c,d,使函数由 3=S(1-0)=S(1+0)=b ,得 b=3由 6=S(1-0)=S(1+0)=2a ,得 a=3是一个三次样条函数,且S(2)=12.解 由已知可得: a+b+c+d=2, b+2c+3d=5,2c+6d=8,6d=12, 解之得:a=-1,b=3,c=-2,d=2.6-19.给出函数表解 线性拟合,即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, =(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T. 则得正则方程组:6a+0.5b=13.52 xi-1-0.500.250.751 yi0.220.822.53.84.2试分别作出线性,二次曲线拟合,并给出最佳均方误差.0.5a+2.875b=7.055 解得:所以,线性拟合曲线为:y=2.078971+2.092353x最佳均方误差为:*2= =0.38659二次拟合,即形如y