1/20数值分析典型例题 I一、二章内容提要典型例题分析例题与练习题实验题介绍2/20具有n 位有效数字,则绝对误差满足相对误差满足如果一个浮点数3/201. 设x*是 f(x)=0在a, b内的唯一根,且 f(a)f(b)0 , r0 使得则称数列xn r 阶收敛.定理2.6 设x*是 的不动点,且而 则 p阶收敛5/20例1.设x1 = 1.21,x2 = 3.65,x3 = 9.81都具有三位 有效位数,试估计数据：x1(x2+x3)的误差限。 解：由|e(x1)|0.510-2，|e(x2)|0.510-2，|e(x3)|0.510-2 所以, |e(x2+x3)|10-2|e(x1(x2+x3)| (1.21+0.513.46)10-2=7.9410-2 6/20例2.设计算球体V允许其相对误差限为 1%,问测量 球半径R 的相对误差限最大为多少? 解：由球体计算公式分析误差传播规律故当球体V 的相对误差限为 1% 时，测量球半径R 的相对误差限最大为0.33%。相对误差传播规律Ex1. 对球冠体积若允许其相对误差为1%,问应 该对R, h 如何限制?7/20例3*. 采用迭代法计算 ，取x0 = 7 (k = 0，1，2，) 若xk具有n位有效数字，求证xk+1具有2n位有效数字 。 Ex2：对 是否都有这 一性质?8/201-8 序列 yn 满足递推关系 yn = 10yn-1 1 (n = 1,2,) 若取 y0 =2 1.41(三位有效数字).递推计算 y10 时误差有多大？思考: 由递推导出符号表达式可否用于计算？ Ex3.用递推公式: In = 1 nIn-1 (I0 = 1- e-1)推导 In 的符号表达式9/201-12 利用级数可计算出无理数 的近似值。由于交错级数的部分和数列Sn 在其极限值上下摆动，试分析，为了得到 级数的三位有效数字近似值，应取多少项求和。解: 由部分和只需 n 1000时, Sn有三位有效数Ex4.推导部分和数列加速的计算表达式10/202-6 应用牛顿迭代法于方程 x3 a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛阶。解：令 f(x) = x3 a，则牛顿迭代公式 故立方根迭代算法二阶收敛11/20例 4.设a 为正实数，试建立求1/a 的牛顿迭代公 式，要求在迭代公式中不含有除法运算，并考 虑迭代公式的收敛。 xn+1 = xn(2 a xn)，( n = 0，1，2 ) 所以,当| 1 a x0| 1 时，迭代公式收敛。 解:建立方程利用牛顿迭代法，得1 a xn+1 = (1 a xn)2 整理，得12/20例2.10 用牛顿迭代法求解非线性方程组 13/20分别取初值(1,0),(2,2),牛顿迭代法计算数据如下 nxny nx ny n 01 0 2 2 11.06250.12501.64581.5833 21.06730.13911.55701.4163 31.06730.13921.54651.3917 41.06730.13921.54631.391214/20Ex6. 若 x*是f(x)=0的m重根,试分析牛顿迭代法 的收敛阶Ex7. 若 x*是f(x)=0的m重根,试证明修正的牛顿 迭代法至少为二阶收敛 15/20Ex9 隐函数定理条件满足时,利用G(x, y) = 0 可以计算隐函数的值,设有G(x0, y0) = 0,则在x0 附近有y = y(x). 试分别构造牛顿迭代法和割 线法计算函数值的迭代格式Ex8 证明割线法可改写如下迭代公式16/20Ex11 确定下列方程的全部隔根区间(1) x sin x = 1；(2) sin x e -x =0；(3) x = tan x； (4) x2 e-x =0 Ex10 在计算机上对调和级数逐项求和计算 当 n 很大时，Sn 将不随n 的增加而增加。试 分析原因。 17/20Ex12 对于复变量 z = x + i y 的复值函数 f(z) 应用牛顿迭代公式 时为避开复数运算,令 zn = xn + i ynf(zn) = An + i Bn，f(zn) = Cn + i Dn 证明 18/20牛顿迭代法的收敛域问题: 用牛顿迭代法求解复数方程 z3 1 = 0，该方程在复 平面上三个根分别是z1 = 1选择中心位于坐标原点，边长 为2的正方形内的任意点作初始 值，进行迭代，把收敛到三个 根的初值分为三类，并分别标 上不同颜色（例如红、黄、蓝 ）。对充分多的初始点进行实 验，绘出牛顿迭代法对该方程 的收敛域彩色图。 19/20收敛到 z1 的牛顿迭代初值点集合 收敛到 z2 的牛顿迭代初值点集合 收敛到 z3 的牛顿迭代初值点集合20/20在复平面内,有一些例外点是牛顿迭代不收敛的初 值点. 这些例外点构成了茹利亚集(为纪念法国女 数学家Julia).