厦门大学硕士学位论文可压Navier-Stokes-Possion方程的整体轨道的渐近紧性姓名：闫乔莲申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：谭忠20080401中文摘要摘要本文，在，cR 和个具有伊口( 0 0 ，五十0 为简单起见，我们只考虑等熵情况，设=y ，口 0 ，y1Pa p1 =7 ，口，y 在一系列的文章中，许多作者( 如L i o n s 6 和【7 、F e i r e i s l 【13 、R a d e kE r -b a n 1 4 】窘勤都研究了N a v i e r - S t o k e s 方程解的存在性而在【l1 】 1 2 中，则证明了可压等髓流在维情况下有界吸收集的存在隆在 2 】2 中，F e i r e i s l 假设外力在肘匕是个有界的、可测函数，在这个唯假设条件下，适当选择拓扑空间，证明了在I = R 和具有L i p s c h i t z 边界的有界域QcR 3 匕- 嗽生成的整体轨道提淮紧的因此，借鉴【2 的方法，我们研究N a v i e r - S t o k e s P o s s i o n 方程的整体轨道的渐近http:/www.taobao43.net/list.php/50011699.htmlhttp:/www.taobao43.net/list.php/50010404.html可压N a v i e r - S t o k e s - P o s s i o n 方程的整体勒道的渐近紧性2紧性在三维和二维情况下，K o b a y a s h iT 1 0 和Y z _ h a n g 1 5 】分别证明了N a v i o r -S t o k e s - P o s s i o n 方程解的存在性因此，本文的目的是；在 1O 的基础上，假设外力在R + E 是有界的和可测的，即m a x e s ss u pl f ( t ，x ) l J 丘拉1 2 3t e R + , x e 2证明方程( 1 1 ) 一( 1 4 ) 的解的整体轨道是准紧的那么，我们首先要证明解的有界吸收集是存在的首先，我们看看问题( 1 1 ) - ( 1 4 ) 在给定时间区间，cR 上的有限能量弱解的解的些性质与不带P o s s i o n 项的N a v i e r - S t o k e s 情况类似，任意N S P 有限能量弱解满足tP 磊U ；三y ( Q ) ) ，三乙。( ，；碟。( Q ) )i = l ，2 ，3 ( 1 5 )方程( 1 1 ) ，( 1 2 ) 在D 7 ( ，国中成立能量不等式爰鳓+ j ：印u 1 2 + ( A 训I d i v u l 2 ；，那么2 0 j ，http:/www.taobao43.net/list.php/50011699.htmlhttp:/www.taobao43.net/list.php/50010404.html可压N a v i e r - S t o k e s P o s s i o n 方程的整体轨道的渐近紧性4m a x e S Ss u pI f l ( t ，x ) l K ，( 1 1 2 ) i = 1 , 2 , 3t e R + x E n那么存在个仅依赖于弘K 和总质量m 的常数点乙，并具有如下的性质；给定E o ，如噪e s sl i ms u p E ( t ) E o ，啼O +使得对t T 时，几乎处处满足；E ( f ) = E p ，u 】( t ) E 。，其中p ，u 是问题( 1 1 ) - ( 1 4 ) 在R + Q 上的有限能量弱解定理1 2设9，j ，菊界可铡函数列厶= L f n l ( t ，功。j j Z n ( t ，功，f 2 ( t ，功 满足m a x 1 e s ss u pI 最( t ，x ) l J K ，( 1 1 3 ) 1 2 1 0 t e R + x E n对于捍= l ，2 设岛，u n 是问题( 1 1 ) - ( 1 4 ) 在，= R + 上的列弱解，满足( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 8 )的假设，并臣对于任意的r l , ；1 ，2 ， ，珂暑fp 。O 。x ) d x ，e S S I k n s u p E p ，U n 】( 力E o of _ 0 +那么对任意岛_ 0 0 的时间列，都存在个子列，满足t 对于任意l 口 一厶l0当t 一岛的弱极限，而6 ( p ) 代表复合函数列6 瓴，厶) 的弱极限我们要证明函数D ( 力= fv ( t ，x ) d xt R ，是连续的，非负的，在R 匕致有界的，相满足D 7 ( 力+ 甲( D ( f ) ) 0在D 7 中，其中王，是凸的，严格正的，且v ( o ) = 0 因此，D 兰0 暗示着( 1 1 4 ) 所断言的密度强收敛因此，本文的核，刮基要证明函数、王，的存在性http:/www.taobao43.net/list.php/50011699.htmlhttp:/www.taobao43.net/list.php/50010404.html可压N a v i e r - S t o k e s P o s s i o n 方程的整体轨道的渐近紧- 巨6第二章定理1 1 的证明一一有界吸收集的存在| 生引理2 1 1 假设f 满足( 1 1 2 ) ，p 。u 满足( 1 5 ) 和( 1 8 ) ，并且满足能量獭( 1 6 ) 对于八烀处处的t R + ，m 满足( 1 。1 0 ) 如果有必要的话，重新定义零测度集，那么，能量在R + 匕是个厨鼯有界变量，并且对于任意的t R + 和0 E ( r + ) 一1 ，那么s u pE ( 件) L f E ( L T + I )J 吐瓣崦啪证明过程需要下面n 价辅助结论，引理2 2 1 在定理1 1 的条件及( 2 5 ) 的假设下，存在常数c 1 = c K K , m ) 使得，( 2 5 )f n lI l u ( 酬：出c 。( 十j = n 1I I p ( t ) l l 工廊) j r力I I ：出c 1 ( 1 十上工( Q ) 廊) 证明，利用( 1 6 ) ，我们得到J 二T T MI l V u c 崛。囝以纠旧1 肛u 撇埘聊嘣c 川H ) ，由此式及( 2 5 ) 、( 1 1 2 ) ，我f 了有厂t l V u ( t ) l l i ：( n ) d tc ：加础+ ，) 上：c 2 ( 上上剧u | 础+ 1 ) 利用P o i n c a r 6 不等式，我们可以得到j = 7 + I l u ( t ) l l 锄工。以c ，( - + f r + 1 上p I u I d x d t ) 、，c 2 6 ，上工( n ) 以c 3 ( 1 + 上上pu，( 2 6 )http:/www.taobao43.net/list.php/50011699.htmlhttp:/www.taobao43.net/list.php/50010404.html可压N a v i e r - S t o k e s - P o s s i o n 方程的整体轨道的渐近紧性8再利用H f l d e I “ 不等式j 洲茨入定理形1 , 2 ( Q ) q 驴，及( 2 6 ) 右边的最后项可以被估计成t蚍佩上P I u | 2 Ua x ) 俪州岫删蚓屹I ( 鳓删砚栅 ，QJ oL 。峰”山u ”结合( 2 6 ) 及Y o u n g 不等式，就可以得出所要的结论引理2 2 2 在定理1 1 的条件和( 2 5 ) 的假设下，存在个常数C 2 = c 2 ( K , m ) ，使得对任意tE 【T 。T + 1 】，有刖Q ( + 一俐略d s ) 证明t 对不等式( 2 2 ) 关于变量t l 在 Z 丁+ 1 】匕积分，其中取t 2 = T + 1 上，可以得到t，、r + l 。，丁+ 1 E ( ( 丁+ 1 ) 一) f( 1 + E ( J ) ) P 、，乏赢r ( r + 1 - j ) d s c l ( 1 + fe ( s ) a s ) J TJ T由( 2 5 ) 我们可知即+ ) I ，；1 + 专= 1 从而推出j = 川胁2sCs砒su川pdxdt，均，叫1 + r 1I t o ( T 州刘赢) ff p 邮s但( f + ) + c 7 ) 如l + fJ ) d s l | 淼I J7 -J Qf E 【t r + 1 1、J、，因此，在y ；情况下，我们有，m s u M p ，E 妯f + 叩s u n p i t (I l P l l ：, c n ) d t +产卅c ，叫t + 一圳赢d 胡托【r t M 】件B 白1 1 + 上拖【盯+ 1 】饵+ ) + 叻蜘【1 + 上儿p l l 高d 训妯。 - + 一以心s u n p E 鼎+ ) ( t + 一r c ；州bt ) 】 同样，利用y ；得，鼎 够+ f “f 峨“易r 出班 一上n 1j ：印“蛾易， s 。，一点s 和p ，出 揪+ 上上咖磊陬 ( 6 ( p ) 一皇) 加】一点s f 【( 6 p ) 一6 ，( p 加) 讲v l I 如 如班 + f 蠊k 。一t d 式捌tf 谚p u 。霸 d i v ( S 。 6 ) ) u Jd x d tj ：l l 删召，缸 一点蹦 d x d x d t( 2 1 6 )j ! ：即a m 召r 3 ，如果需要的话，设0 l l S , 6 ( I D ) 】一兜s e 6 p ) 】出I I 上2 巩c 8 沏) f I l u ( t ) l l w o l 工( a ) d t ，如果2 0 1 。则0 怯以看3 ( m ) f = M “窃f 5 。 6 ( 1 9 ) 】一s ； b ) d x l I I W t , p ( j 班( 2 2 5 )称m ) 上憾恤卜虫n，班G 2 5 c ；3 ( m ) fl i s 。 6 ( p ) 一币S e 6 ( p ) 出州p 巩l 巾J nC 1 3 ( m ，的，如果印 3 ，则0 3 情况下，我们可以得到4 3 63 0 , 一1 ) I p ( 圳：，( n ) ( 2 2 6 )l 三孥急茹黯篓S 观扯删枷sc ；5 上l I v 怯( n ) l l 召p f 6 一渺】办J 忆* ( n ) 上p 矗砌SC 1 5 ( 垅) s u pI I P l l L r ( o ) d t 拒阢r + l 】 ( 2 2 7 )可压N a v i e r - S t o k e s - P o s s i o n 方程的整体轨道的渐近紧性1 5在y = 3 情况下，l - lj ：印a 够，S 鼬( p ) 】一点s f 6 ( p ) 】出J 础l ；，假设日满足( 2 1 5 ) ，我们有4 y 33 ( r + 毋一1 1。”口 2 ( 3 3 )上I